2010-2011学年江苏省南京27中高三（上）学情分析数学试卷（01）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数的模是    ．

2. 难度：中等

已知集合M={0，2，4}，N={x|log₂（x+1）＜2，x∈Z}，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

已知平面向量，，且，则=    ．

4. 难度：中等

若，则f（-3）等于     ．

5. 难度：中等

对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300～500小时的数量是    个．

6. 难度：中等

用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，则这个砂粒距离球心不小于1cm的概率为    ．

7. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

8. 难度：中等

若曲线在x=1处的切线与直线ax-y+1=0平行，则实数a=    ．

9. 难度：中等

已知平面区域，恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖．则圆C的方程为    ．

10. 难度：中等

体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于    ．

11. 难度：中等

过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，则其通项a_n=    ；若它的第k项满足5＜a_k＜8，则k=    ．

13. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，B=60°，则∠A=    ．

14. 难度：中等

给出以下四个命题：
①已知命题p：∃x∈R，tanx=2；命题q：∀x∈R，x²-x+1≥0．命题p和q都是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0或2x+y=0；
③函数f（x）=lnx+2x-1在定义域内有且只有一个零点；
④先将函数的图象向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两
倍，则所得图象的函数解析式为y=sinx．
其中正确命题的序号为    ．（把你认为正确的命题序号都填上）

二、解答题

15. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．
（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

17. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为：x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）①写出x₁，x₂，x₃，x₄，②求数列{x_n}的通项公式x_n；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论．

18. 难度：中等

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

若椭圆过点（-3，2）离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）²+（y-6）²=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求的最大值与最小值．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：，，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：{a_n}为等比数列；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．设有理数x₁，x₂满足|x₁|＜|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论．