2010-2011学年北京四中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（）^x，x＞1}，则A∪B等于（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|y＞0}
C．∅
D．R

2. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₃=7，前3项之和S₃=21，则数列{a_n}的公比为（ ）
A．1
B．
C．1或
D．-1或

3. 难度：中等

函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．x-y-2=0
B．x+y-2=0
C．x+4y-5=0
D．x-4y+3=0

4. 难度：中等

对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．z²=x²-y²
C．
D．|z|≤|x|+|y|

5. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数

7. 难度：中等

设f（x）=|2-x²|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，2]
C．（0，2）
D．（0，4]

8. 难度：中等

给出下列三个命题：
①若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数；
②若函数f（x）=2^x，g（x）=log₂x，则函数y=f（2x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称；
③函数y=ln与y=lntan是同一函数． 其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

∫¹（x-1）dx=    ．

10. 难度：中等

已知α为第三象限的角，，则=   

11. 难度：中等

若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x）且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

函数y=8x²-lnx的单调减区间是    ，极小值是    ．

13. 难度：中等

若E、F是等腰直角△ABC斜边上的三等分点，则tan∠ECF=    ．

14. 难度：中等

已知：数列{b_n}满足b₁=1，b₂=x（x∈N^*），b_n+1=|b_n-b_n-1|（n≥2，n∈N^*）．
①x=2，则该数列前10项和为    ；
②若前100项中恰好含有30项为0，则x的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当，求f（x）的值域．

16. 难度：中等

已知：函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求：f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求：θ的取值范围．

17. 难度：中等

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边分别是a，b，c，且b²=ac
（1）求证：；
（2）求函数的值域．

19. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

20. 难度：中等

已知：二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求：f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足=f'（），且a₁=4，求：数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，求证：①＜5；②≤＜2．