2009-2010学年湖南省岳阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义A★B={x|x∈A，且x∉B}，若全集S=N，M={1，2，3，4，5}，P={2，3，6}，则P★M等于（ ）
A．M
B．P
C．{1，4，5}
D．{6}

2. 难度：中等

若sin2a=，则sin⁴a+cos⁴a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若函数f（x）存在反函数f^-1（x），且函数f（x）的图象在点（x，f（x））处的切线方程为2x-y+3=0，则函数f^-1（x）的图象在点（f（x），x）处的切线方程为（ ）
A．x-2y-3=0
B．2x-y+3=0
C．x-2y+3=0
D．2x+y-3=0

4. 难度：中等

将函数y=sin（2x+）的图象经怎样平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（ ）
A．向左移
B．向左移
C．向右移
D．向右移

5. 难度：中等

已知A（-3，0），B（0，）O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=（λ∈R），则λ等于（ ）
A．
B．
C．
D．3

6. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，且f （2+x）=f （2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，a_n=f （n），n∈N^*，则a₂₀₁₀的值为（ ）
A．2010
B．4
C．
D．-4

7. 难度：中等

在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

8. 难度：中等

已知f（x）=x³+2bx²+cx+1在区间[-1，2]上是减函数，那么2b+c（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=lg（x²-1）+的定义域为    ﹒

10. 难度：中等

函数y=2sinx的图象按向量平移后得到的图象的函数解析式为y=2sin（x+）-1，则向量的坐标为    ．

11. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为    ﹒

12. 难度：中等

在△ABC中，三内角A，B，C分别对应三边a，b，c，tanC=，c=8，则△ABC外接圆半径R为    ﹒

13. 难度：中等

已知奇函数f（x）是定义在（-1，1）上的增函数，如果f（1-a）+f（1-a²）＜0，则实数a的取值范围是     ﹒

14. 难度：中等

已知f（x）=x³+x²f′（1）+3xf′（-1），则f′（1）+f′（-1）的值为     ﹒

15. 难度：中等

设函数，若[x]表示不大于x的最大整数，则函数的值域是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（π-x）•sin（+x）．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（1）求∠B的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

18. 难度：中等

已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使，，成公差小于零的等差数列．
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为（x，y），记θ为与的夹角，求tanθ．

19. 难度：中等

如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东a角的射线OZ方向航行，其中tana=，在距离港口O为3a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）当m为何值时，补给最合适？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1对∀x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

21. 难度：中等

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求实数C的值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x，y），使f（x）在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．