2009-2010学年北京四中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

log₂的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x²+x-6≤0}，则P∩Q等于（ ）
A．{2}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}

3. 难度：中等

若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．
D．a|c|＞b|c|

4. 难度：中等

函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（ ）
A．（-，+∞）
B．（-，1）
C．（-，）
D．（-∞，-）

5. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y=-x³，x∈R
B．y=sinx，x∈R
C．y=x，x∈R
D．

6. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

7. 难度：中等

函数y=的值域是（ ）
A．（-∞，1]
B．（-∞，2]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）

8. 难度：中等

“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不允分也不必要条件

9. 难度：中等

函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log₂x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（ ）
A．
B．
C．f（x）=-log₂x（x＞0）
D．f（x）=-log₂（-x）（x＜0）

10. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，对任意实数x满足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），当1≤x≤2时，f（x）=x²，则f（x）的单调减区间是（ ）
A．[2k，2k+1]（k∈Z）
B．[2k-1，2k]（k∈Z）
C．[2k，2k+2]（k∈Z）
D．[2k-2，2k]（k∈Z）

二、填空题

11. 难度：中等

不等式＞0的解集是     ．

12. 难度：中等

函数f（x）为奇函数，对任意x∈R，均有f（x+4）=f（x），若f（-1）=3，则f（-3）=    ．

13. 难度：中等

方程2^-x+x²=3的实数解的个数为    ．

14. 难度：中等

给出下列四种说法：
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③函数y=+与y=都是奇函数；
④函数y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都是增函数．
其中正确的序号是    （把你认为正确叙述的序号都填上）．

三、解答题

15. 难度：中等

解关于x的不等式：x²+（a+2）x+2a＜0．

16. 难度：中等

已知：函数y=在[0，2]上有最小值8，求：正数a的值．

17. 难度：中等

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数！
（2）若当x属于（-1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（-1，1）上是减函数．

四、选择题

18. 难度：中等

过曲线y=x⁴上一点，倾斜角为的切线方程为（ ）
A．4x-4y+3=0
B．4x-4y+5=0
C．4x-4y-3=0
D．4x-4y-5=0

19. 难度：中等

已知全集U=A∪B中有m个元素，（C_UA）∪（C_UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）
A．mn
B．m+n
C．n-m
D．m-n

20. 难度：中等

复数z₁=，z₂=2-3i，z₃=，则|z₃|等于（ ）
A．
B．
C．
D．5

五、填空题

21. 难度：中等

若x＞0，则（2+）（2-）-4=    ．

22. 难度：中等

如果函数y=x⁴-8x²+c在[-1，3]上的最小值是-14，那么c=    ．

23. 难度：中等

若不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈（0，）恒成立，则a的取值范围是    ．

六、解答题

24. 难度：中等

已知：函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）若a=9，b=1，求函数f（x）的单调区间与极值点．

25. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．
（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实数根，判断f（m-4）的符号，并证明你的结论．