2004-2005学年北京市人大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，f（x）=sinx，g（x）=cosx，M={x|f（x）≠0}，N={x|g（x）≠0}，那么集合{x|f（x）g（x）=0}=（ ）
A．（C_UM）∩（C_UN）
B．（C_UM）∪N
C．M∪（C_UN）
D．（C_UM）∪（C_UN）

2. 难度：中等

某单位有老年人100人，中年人201人，青年人100人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为40的样本，则适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层抽样

3. 难度：中等

如图，直线Ax+By+C=0（AB≠0）的右下方有一点（m，n），则Am+Bn+C的值（ ）

A．与C同号
B．与A同号
C．与B同号
D．与A，B均同号

4. 难度：中等

f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（-）的值为（ ）
A．0
B．
C．T
D．-

5. 难度：中等

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则一定有（ ）

A．a＜0b＞0c＞0d＜0
B．a＜0b＜0c＞0d＜0
C．a＜0b＞0c＜0d＜0
D．a＜0b＜0c＜0d＜0

6. 难度：中等

若关于x的不等式2-x²＞|x-a|至少有一个负数解，则a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值．则下面的四个结论中：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P-EF-Q的大小为定值；
④三棱锥P-QEF的体积为定值．
正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

8. 难度：中等

国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况，它的计算公式为（x：人均食品支出总额，y：人均个人消费支出总额），且y=2x+475．各种类型家庭情况见下表：

家庭类型	贫困	温饱	小康	富裕
n	n≥59%	50%≤n＜59%	40%≤n＜50%	30%≤n＜40%

李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于（ ）
A．贫困
B．温饱
C．小康
D．富裕

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆+…+a₁₃+a₁₄=77，且a_k=13，则k=    ．

10. 难度：中等

已知函数 f（x）=a•sin（πx+θ）+b•cos（πx+θ）+4，若f（2004）=3，则 f（2005）=    ．

11. 难度：中等

已知，则的取值范围为    ．

12. 难度：中等

函数y=acosx-sinx的图象关于直线对称，则a=    ．

13. 难度：中等

F₁，F₂为椭园的左右焦点，l是它的一条准线，点P在l上，则∠F₁PF₂的最大值为    ．

14. 难度：中等

设有两个命题：（1）不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R；（2）定义在R上的函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数；若这两个命题均为真命题，则m的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（sin2x，1-cos2x），=（0，1），x∈（0，π）．
（1）向量是否共线？证明你的结论；
（2）若函数f（x）=||-（）•，求f（x）的最大值，并指出取最大值时对应的x值．

16. 难度：中等

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且数列{a_n}成等差数列．
（1）当n为正偶数时，f_n（-1）=n，且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（2）试比较与3的大小．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值；
（4）当为何值时，PB⊥AC？

18. 难度：中等

一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去．鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．鸟飞向各扇窗子是随机的．
（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x次试飞时飞出了房间，求试飞次数x的分布列；
（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间，求试飞次数y的分布列．

19. 难度：中等

点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q的轨迹C；
（2）直线l过点M（1，0）交曲线C于A、B两点，点P满足，，又=（x，0），其中O为坐标原点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由．

20. 难度：中等

设定义在区间[-1，1]上的偶函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）= （0＜a＜36），求f（x）的最大值与最小值．