2006-2007学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果集合P={x||x|＞2}，集合T={x|3^x＞1}，那么，集合P∩T等于（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＞2}
C．{x|x＜-2或x＞0}
D．{x|x＜-2或x＞2}

2. 难度：中等

已知函数等于（ ）
A．-1
B．5
C．-8
D．3

3. 难度：中等

映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”．已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为（ ）
A．24
B．6
C．36
D．72

4. 难度：中等

命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞），则（ ）
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p假q真

5. 难度：中等

已知R为实数集，Q为有理数集．设函数，则（ ）
A．函数y=f（x）的图象是两条平行直线
B．
C．函数f[f（x）]恒等于0
D．函数f[f（x）]的导函数恒等于0

6. 难度：中等

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多两个实根．
其中正确的命题是（ ）
A．①④
B．①③
C．①②③
D．①②④

7. 难度：中等

将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（-2，4）重合，若点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值为（ ）
A．4
B．-4
C．10
D．-10

8. 难度：中等

设x、y∈R，集合A={（x，y）|x²-y²=1}，B={（x，y）|y=t（x+2）+3}，若A∩B为单元素集，则t值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

“x∈（A∪B）”是“x∈A且x∈B”的     条件．

10. 难度：中等

设函数，若g（x）=（x-1）²f（x-1），y=g（x）的反函数y=g^-1（x），则g（-1）•g^-1（-4）的值为    ．

11. 难度：中等

已知函数，在x=1处连续，则实数a的值为    ．

12. 难度：中等

如果曲线y=log_ax（a＞0且a≠1）与直线y=x相切于点P，则点P的坐标是    ，a=    ．

13. 难度：中等

如果函数f（x）的定义域为R，对于m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）+f（n）-6，且f（-1）是不大于5的正整数，当x＞-1时，f（x）＞0．
那么具有这种性质的函数f（x）=    ．（注：填上你认为正确的一个函数即可）

14. 难度：中等

已知a，b∈N₊，抛物线f（x）=ax²+bx+1与x轴有两个不同交点，且两交点到原点的距离均小于1，则a+b的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．若函数的定义域和值域都是[1，a]（a＞1），求a的值．

16. 难度：中等

某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：．求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．

17. 难度：中等

已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解；
命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0；
若命题“p或q”是真命题，而命题“p且q”是假命题，且¬q是真命题，求a的取值范围．

18. 难度：中等

设P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是函数f（x）=2^x+a 的函数图象上三个不同的点，且满足y₁+y₃=2y₂的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．