2012-2013学年湖南师大附中高三第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数z=（a+i）（1-i）为纯虚数，那么实数a等于（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

2. 难度：中等

函数f（x）=|x|-cosx在（-∞，+∞）内（ ）
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无究多个零点

3. 难度：中等

有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（ ）

A．12cm²
B．15πcm²
C．24πcm²
D．36πcm²

4. 难度：中等

已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．
y=f（x-1）的图象
B．
y=f（|x|）的图象
C．
y=f（-x）的图象
D．
y=f（x）的图象

6. 难度：中等

P是双曲线的右支上一点，点M，N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的动点，则|PM|-|PN|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=x²
D．f（x）=sin

8. 难度：中等

如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（ ）

A．0＜x+y＜1
B．x+y＞1
C．x+y＜-1
D．-1＜x+y＜0

9. 难度：中等

如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是（ ）

A．21
B．34
C．55
D．89

二、填空题

10. 难度：中等

将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是    ．

11. 难度：中等

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组，α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，据此算出H=    m．

12. 难度：中等

在数列，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=    ．

13. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，a＞b＞c，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是   

15. 难度：中等

设x_n={1，2…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=    ，②S_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，一个几何体由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A，B，C在⊙O的圆周上，E，A，D三点共线，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

17. 难度：中等

函数f（x）=6cos²sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）=，且x∈（-），求f（x+1）的值．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．

19. 难度：中等

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．
（1）试给出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表达式（不要求证明）；
（2）证明：．

20. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x²+ax-2-lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的取值范围．
（参考数据：ln3≈1.0986）

21. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；
（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．