2009-2010学年北京四中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则（1+i）⁶展开式中的第三项为（ ）
A．30i
B．-15i
C．30
D．-15

2. 难度：中等

从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

的展开式中x的系数是（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4

4. 难度：中等

将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）
A．30
B．36
C．60
D．66

5. 难度：中等

若（1+mx）⁶=a+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶，且a₁+a₂+…+a₆=63，则实数m的值为（ ）
A．1或3
B．-3
C．1
D．1或-3

6. 难度：中等

若随机变量X的分布列如下表，则E（X）=（ ）

X		1	2	3	4	5
P	2x	3x	7x	2x	3x	x

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式为（ ）
A．120
B．48
C．36
D．18

8. 难度：中等

若函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5），且f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（1）=（ ）
A．24
B．-24
C．10
D．-10

9. 难度：中等

若复数z满足|z+4+3i|=3，则复数z的模应满足的不等式是（ ）
A．5≤|z|≤8
B．2≤|z|≤8
C．|z|≤5
D．|z|＜8

10. 难度：中等

设ξ是离散型随机变量，P（ξ=x₁）=，P（ξ=x₂）=，且x₁＜x₂，现已知：Eξ=，Dξ=，则x₁+x₂的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．

二、解答题

11. 难度：中等

若二项式（1+2x）ⁿ的展开式中只有第七项的二项式系数最大，则n=______；此时2ⁿ⁺⁴除以7的余数是______．

12. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=______

13. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式的种数是______．

14. 难度：中等

从集合{-1，-2，-3，-4，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为______．

15. 难度：中等

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现从甲、乙两组中各抽取2名工人进行技术考核．
（1）求抽出4人中恰有2名女工人的方法种数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，=，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB²=BE•CD．

17. 难度：中等

某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为．
（Ⅰ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（Ⅱ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（Ⅲ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值Eξ．

三、选择题

18. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

19. 难度：中等

由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2ln2

20. 难度：中等

电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

四、填空题

21. 难度：中等

（1+2x）³（1-x）⁴的展开式中x的系数是    ．

22. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为    ．

23. 难度：中等

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为    ．

五、解答题

24. 难度：中等

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：； 
（2）求：的最小值．

25. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．