2009-2010学年湖南省长沙市雅礼中学高三第五次质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．-2-i
B．-2+i
C．2-i
D．2+i

2. 难度：中等

已知集合M={x|≤2^x≤4}，N={x|x-k＞0}，若M∩N=∅，则k的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1]

3. 难度：中等

在（3+x）⁵+（2-x）⁶的展开式中，含x⁴的项的二项式系数是以a_n=2n+2为通项的数列{a_n}的（ ）
A．第6项
B．第7项
C．第8项
D．第9项

4. 难度：中等

函数y=sin|3x|（ ）
A．是周期函数，最小正周期为
B．是周期函数，最小正周期为
C．不是周期函数，但是奇函数
D．不是周期函数，但是偶函数

5. 难度：中等

如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x²和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10

7. 难度：中等

已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（ ）
A．2026
B．2046
C．1024
D．1022

二、填空题

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知两点A（2，5），B（0，1），若点C满足（O为坐标原点），其中λ₁、λ₂∈R，且λ₁+λ₂=1，则点C的轨迹方程为    ．

10. 难度：中等

两圆相交于点A（1，3）、B（m，-1），两圆的圆心均在直线x-y+c=0上，则m+c=    ．

11. 难度：中等

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当有最小值时，椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

如果圆x²+y²=k²至少覆盖函数f（x）=的一个极大值点和一个极小值点，则k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在如图所示三角形中，令第n行的各数的和为a_n，得到数{a_n}，则数列{a_n}的通项公式为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=|x-6|，程序框图表示的是给定x的值，求其函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填    ，②处应填    ．

15. 难度：中等

①棱长为1的正四面体与一个球①若正四面体的四个顶点都在球面上，则这个球的表面积    ．
②若球与正四面体的六条棱都相切，则这个球的体积    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4-cos2A=，b+c=，求A、B、C的大小．

17. 难度：中等

某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，
问：（1）组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？
（2）用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD中点．
（I）试证：CD⊥平面BEF；
（II）高PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大小30°，求k的取值范围．

19. 难度：中等

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d（m）与车速v（km/h）和车长l（m）的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h）时，车距为2.66个车身长．
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

20. 难度：中等

已知长方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中点0为原点建立如图所示的平面直角坐标系x0y
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆C的标准方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

21. 难度：中等

设函数R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n，使得？说明理由．