2010-2011学年度江苏省连云港市赣榆高级中学高三暑期检测数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|-3＜x＜0}，B={x|x＜-1}，则图中阴影部分表示的集合为    ．

2. 难度：中等

函数y=sin（-2x+），x∈[0，π]的单调减区间是     ．

3. 难度：中等

已知AB是圆O的一条直径，CD是一条动弦且与AB垂直，假设CD与直径AB的交点在AB上是等可能的，则弦CD长大于半径的概率是     ．

4. 难度：中等

若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=    ．

5. 难度：中等

若“x²＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为    ．

6. 难度：中等

阅读下列程序框图，该程序输出的结果是    ．

7. 难度：中等

为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是    ．

8. 难度：中等

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是     ．

9. 难度：中等

定义运算a*b为：，例如，1*2=1，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为     ．

10. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的左右焦点，过F₁的直线与椭圆相交于A，B两点．若，则椭圆的离心率为    ．

11. 难度：中等

若对于，不等式恒成立，则正实数p的取值范围为    ．

12. 难度：中等

设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③当0≤x＜1时，f（x）=2^x-1．则=    ．

13. 难度：中等

设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则=    ．

14. 难度：中等

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和都相切，则a等于    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2，设．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及|OA|；
（Ⅱ）若，求的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均是边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求点A到平面A₁EB的距离．

17. 难度：中等

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列和满足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+14-45，求证：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知动点P到定直线l：x=2的距离与点P到定点F之比为．
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k₁、k₂，问k₁•k₂是否为定值？
（3）若点M为圆O：x²+y²=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

19. 难度：中等

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

20. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．