2011-2012学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式|x|＞2的解集是（ ）
A．x＞2
B．{x|x＞2}
C．{x|x＞2或x＜-2}
D．x＞2或x＜-2

2. 难度：中等

已知条件p：x＞1，条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

3. 难度：中等

设，，则P，Q的大小顺序是（ ）
A．P＞Q
B．Q＞P
C．Q=P
D．不能确定

4. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

5. 难度：中等

已知命题p且q为假命题，则可以肯定（ ）
A．p为真命题
B．q为假命题
C．p，q中至少有一个假命题
D．p，q都是假命题

6. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

7. 难度：中等

用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•5•…•（2n-1）时，从k变到k+1时，左边应增添的因式是（ ）
A．2k+1
B．
C．
D．2（2k+1）

8. 难度：中等

下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A．
B．
C．
D．2^x+2^-x

二、填空题

9. 难度：中等

已知命题p：a＞b，命题q：ac²＞bc²．那么命题p是q的     条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”．）

10. 难度：中等

函数的最小值为     ．

11. 难度：中等

不等式|x-1|-|x+2|≤a恒成立，则参数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

给出下列四个命题：
①在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②若，则x=±1；
③命题“两个相似的三角形面积相等”；
④f（x）=|x-1|是偶函数
其中真命题有    ．

13. 难度：中等

若a²+b²+c²=1，则a+2b+3c的最大值为    ．

14. 难度：中等

若a，b∈R，且a≠b，则a²+b²和ab+a+b-1的大小关系是a²+b²    ab+a+b-1（填”＞”或”＜”号）

15. 难度：中等

若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

解不等式
（1）|3x-1|≤2                   
（2）|x-2|-x≤1．

17. 难度：中等

已知a₁，a₂∈R₊且a₁•a₂=1，求证：（1+a₁）（1+a₂）≥4．

18. 难度：中等

若n是大于1的自然数，求证．

19. 难度：中等

已知命题p：x²-x-2≤0，命题q：x²-x-m²-m≤0．
（1）求￢p
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的范围．

四、填空题

20. 难度：中等

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

五、解答题

21. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式•…成立．