2007-2008学年北京四中高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（ ）
A．P∈a，a∥α
B．a∩α=P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a⊂α

2. 难度：中等

正方体的内切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A．1：
B．
C．1：2
D．

3. 难度：中等

直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（ ）
A．135°，1
B．45°，-1
C．45°，1
D．135°，-1

4. 难度：中等

在，则tanC的值是（ ）
A．-1
B．1
C．
D．2

5. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

6. 难度：中等

若两条直线x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0平行，则m=（ ）
A．
B．-1
C．3
D．-1或3

7. 难度：中等

圆（x-2）²+（y-3）²=1关于直线x+y-1=0对称的圆方程是（ ）
A．（x+1）²+（y-2）²=1
B．（x-2）²+（y+1）²=1
C．（x+2）²+（y+1）²=1
D．（x+1）²+（y+2）²=1

8. 难度：中等

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，若a₃=18-a₆，则S₈=（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72

9. 难度：中等

已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+4y的最小值为（ ）
A．38
B．5
C．-6
D．-18

11. 难度：中等

已知空间几何体的三视图如图（1）（2）（3）都是直角边边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1

12. 难度：中等

已知直线l：kx-y-k+3=0，且无论k取何值，直线l与圆（x-5）²+（y-6）²=r²（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（ ）
A．[3，5]
B．（3，+∞）
C．[4，6）
D．[5，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

已知球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且，那么A，B两点间的球面距离是    ．

14. 难度：中等

直线y=3x+6绕着它与x轴的交点逆时针旋转后所得的直线方程为    ．

15. 难度：中等

不等式的解集是     ．

16. 难度：中等

设圆C：x²+y²=25，直线l：3x-4y-10=0，则圆C上到直线l的距离为3的点共有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长均为1，且满足∠BAD=60°，O₁为A₁C₁的中点．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求证：AO₁∥平面C₁BD；
（3）设BB₁的中点为M，过A，C₁和M作一截面，求所得截面面积．

18. 难度：中等

如图，Rt△ABC的顶点坐标A（-3，0），直角顶点B（-1，-），顶点C在x轴上．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）直线l与圆相切于第一象限，求切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的切线方程．

四、选择题

19. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S₅=10，S₁₀=18，则S₁₅=（ ）
A．26
B．24
C．22
D．20

20. 难度：中等

△ABC中，∠A=，BC=3，AB=，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．或

21. 难度：中等

已知函数，则该函数的值域为（ ）
A．[-1，1]
B．[-2，2]
C．（-∞，-2]∪[2，+∞）
D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

五、填空题

22. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄=，a₂a₃=-，则+++=    ．

23. 难度：中等

已知圆C和y轴相切，圆心在x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，则圆C的方程为    ．

24. 难度：中等

将边长为3，4，5的直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得的旋转体的体积为    ．

六、解答题

25. 难度：中等

数列{a_n}是首项为0的等差数列，数列{b_n}是首项为1的等比数列，设c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前三项依次为1，1，2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）求数列{c_n}的前n项的和．

26. 难度：中等

已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖，设该圆的圆心为点C．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且CA⊥CB，求直线l的方程．
（3）求直线y=k（x-9）与圆C在第一象限部分的公共点的个数．

27. 难度：中等

附加题：设函数，对于正整数列{a_n}，其前n项和为S_n，且S_n=f（a_n），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．