2007-2008学年广东省惠州一中高三（上）数学寒假作业5（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知=（2，1），=（3，x），若（2-）⊥，则x的值为（ ）
A．-1
B．3
C．1或3
D．-1或3

3. 难度：中等

若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-84
B．84
C．-36
D．36

4. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是（ ）
A．p：0=φ；q：0∈φ
B．p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数
C．p：；q：不等式|x|＞x的解集是（-∞，0）
D．p：圆（x-1）²+（y-2）²=1的面积被直线x=1平分；q：椭圆的一条准线方程是x=4

6. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

7. 难度：中等

函数y=log₂x+log_x2x的值域为（ ）
A．（-∞，-1]
B．[3，+∞）
C．[-1，3]
D．（-∞，-1]∪[3，+∞）

8. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，A（-a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若=9，则a=    ；=    ．

10. 难度：中等

若，则目标函数z=x+3y的取值范围是    ．

11. 难度：中等

（从以下三题中选做两题，如有多选，按得分最低的两题记分．）
（A）AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为   
（B）若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则a的取值范围为    ．
（C）参数方程（α是参数）表示的曲线的普通方程是    ．

12. 难度：中等

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，则f（-2004.5）=    ．

13. 难度：中等

观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有     个小正方形，第n个图中有     个小正方形

三、解答题

14. 难度：中等

已知向量=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），=（cosx，-1），定义．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），当时，求x的取值范围．

15. 难度：中等

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

16. 难度：中等

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

17. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线C．
（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率e满足，e，成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由．