2010-2011学年浙江省宁波市鄞州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-x-12≤0}集合B={x|m-1≤x≤3m-2}若A∪B=A，则实数m的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]
B．
C．（-∞，2]
D．[2，+∞）

2. 难度：中等

若x，y∈R，则”x＞3或y＞2”是”x+y＞5”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

设复数z的共轭复数为，若z=1-i（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．i
B．-i
C．0
D．-3i

4. 难度：中等

由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A．72
B．96
C．108
D．144

5. 难度：中等

已知等差数列=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则角B=（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

7. 难度：中等

（理）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α-l-β的平面角为150°，则球O的表面积为（ ）
A．4π
B．16π
C．28π
D．112π

8. 难度：中等

已知函数有且仅有3个实数根x₁、x₂、x₃，则x₁²+x₂²+x₃²=（ ）
A．5
B．
C．3
D．

9. 难度：中等

已知实数x，y满足线性约束条件，目标函数z=y-ax（a∈R），若z取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）

10. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

二、填空题

11. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁．F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为    ．

12. 难度：中等

若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

曲线在点（1，1）处的切线方程为    ．

15. 难度：中等

按图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则++=设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如a+b+c=，则内角A的大小为    ；若a=3，则△ABC的面积为    ．

17. 难度：中等

若（1+x）¹⁴=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₄x¹⁴，则a₁+2a₂+3a₃+…+6a₆+14a₁₄=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为θ．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x³-x-2，证明：∀x₁∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．