2009-2010学年湖南省长沙市雅礼中学高三第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知x∈（-，0）且cosx=，则cos（-x）=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知关于x的不等式＜0的解集为（1，3），若a+b＜0，则实数a，b的取值是（ ）
A．3，1
B．1，3
C．-3，1
D．3，-1

3. 难度：中等

下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（ ）
A．y=cos2
B．y=|sin2x|
C．y=|cosx|
D．y=|sinx|

4. 难度：中等

f（x）=x³-3x²+2在区间[-1，1]上的最大值是（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4

5. 难度：中等

已知，||=2，||=3，且3+2与λ-垂直，则实数λ的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

7. 难度：中等

已知直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（a，0），B（0，b）两点，且满足=1，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

设U={（x，y）|x²+y²≤1，x，y∈R}，M={（x，y）|x|+|y|≤1，x，y∈R}，现有一质点随机落入区域U中，则质点落入M中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

10. 难度：中等

曲线y=e^x在点（2，e²）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为     ．

11. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是     ．

12. 难度：中等

f（x）=|x²-4x+3|-a有三个零点，则实数a所构成的集合为    

13. 难度：中等

对于集合{a₁，a₂…，a_n}和常数a，定义集合{a₁，a₂，…，a_n}相对a的“正弦方差W”：W=．
设集合A={，，}，证明集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ是一个与常数θ无关的定值

14. 难度：中等

函数y=sin2x-cos2x+的最小正周期为 π，最大值为    ．

15. 难度：中等

，设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则．
（i）f（）=    ；
（ii）设S为f（x）=0在区间[0，20]内的所有根之和，则S的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos（-x）cos（2π-x）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

已知向量，，且•．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．
（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；
（Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性．

20. 难度：中等

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

21. 难度：中等

设函数f（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当x∈[-1，2]时，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．