2010-2011学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第三次摸底数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M{x|y=}，N={x||x|＞2}，则M∩N（ ）
A．{x|1＜x＜3}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|2＜x≤3

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

3. 难度：中等

已知：a=log_0.70.9，b=log_1.10.7c=1.1^0.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b

4. 难度：中等

有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为（ ）
A．24πcm²，36πcm³
B．15πcm²，12πcm³
C．24πcm²，12πcm³
D．以上都不正确

5. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosϖx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

6. 难度：中等

关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

7. 难度：中等

若实数a满足a＞|y-1|-|y-2|（y∈R）恒成立，则函数f（x）=log_a（x²-5x+6）的单调减区间为（ ）
A．（，+∞）
B．（3，+∞）
C．（-∞
D．（-∞，2）

8. 难度：中等

正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知向量=（cos75°，sin75°），=（cos15°，sin15°），那么的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

已知数列{a_n}是正项等比数列，{b_n}是等差数列，且a₆=b₈，则一定有（ ）
A．a₃+a_9≤b₉+b₇
B．a₃+a₉≥b₉+b₇
C．a₃+a₉＞b₉+b₇
D．a₃+a_9^＜b₉+b₇

11. 难度：中等

定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（ ）函数．
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N^*）的前n项和等于，则n等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=3x²与x=1、x=2及x轴围成的图形的面积是    ．

14. 难度：中等

函数y=f（cosx）的定义域为[2kπ-，2kπ]（k∈Z），则函数y=f（x）的定义域为    ．

15. 难度：中等

=（m，1），=（1-n，1）（其中m、n为正数），若，则+的最小值是    、

16. 难度：中等

已知三棱锥A-BOC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为    、

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{n|a_n|}的前n项和为T_n，求数列{T_n}的通项公式、

18. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AE=3EB；
（Ⅰ）若A₁F=FA，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（Ⅱ） 求二面角A-EC-D₁的正切值、

19. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列；
（Ⅰ）若sin²B=sinAsinc，试判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求代数式sin²的取值范围．

20. 难度：中等

已知f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．

21. 难度：中等

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
（1）求f（）的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（+f+L+f（）+f（1），求a_n；
（3）令b_n=，T_n=b₁²+b₂²+L+b_n²，S_n=，试比较T_n与S_n的大小、

22. 难度：中等

设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范围；
（Ⅱ） 当a是给定的实常数，设x₁x₂x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由、