2012-2013学年四川省雅安中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（ ）
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．不能判断q的真假

2. 难度：中等

与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，2）
C．（1，+∞）
D．（0，1）

4. 难度：中等

若f′（x）=3，则=（ ）
A．3
B．-3
C．9
D．-9

5. 难度：中等

若函数f（x）=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若抛物线y²=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

7. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．[4，+∞）
C．
D．

10. 难度：中等

抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x₁•x₂=-，则m等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是     ．

12. 难度：中等

若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为    ．

13. 难度：中等

若直线x-y=2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是    ．

14. 难度：中等

若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

有下列4个命题：
①函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的充要条件；
②若椭圆x²+my²=1的离心率为，则它的长半轴长为1；
③对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有f（0）+f（2）≥2f（1）；
④经过点（1，1）的直线，必与+=1有2个不同的交点．
其中真命题的为    将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4和2，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

17. 难度：中等

设p：实数x满足x²+2ax-3a²＜0（a＞0），q：实数x满足x²+2x-8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．

18. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+5，过曲线y=f（x） 上的点P（1，f（1））的切线斜率为3．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

19. 难度：中等

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．