2012-2013学年江苏省淮安市洪泽中学高二（下）期初数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

过平面α的一条平行线可作    个平面与平面α垂直．

2. 难度：中等

已知样本数据x₁，x₂，…x_n的方差为4，则数据2x₁+3，2x₂+3，…2x_n+3的标准差是    ．

3. 难度：中等

已知单位向量，的夹角为，那么||=    ．

4. 难度：中等

在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=+（a∈N^*），对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则正整数a的取值个数是    ．

6. 难度：中等

一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为    ．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足条件，z=x+yi（i为虚数单位），则|z-1+2i|的最小值是    ．

8. 难度：中等

双曲线的两条渐近线方程为    ．

9. 难度：中等

已知点A（-2，-3）、B（3，2），若直线l：y=kx+1与线段AB有公共点，则斜率k的取值范围是    ．

10. 难度：中等

如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为    ．

11. 难度：中等

若函数，则f（f（0））=    ．

12. 难度：中等

四个函数y=x^-1，，y=x²，y=x³，y=lnx，中，在区间（0，+∞）上为减函数的是    ．

13. 难度：中等

函数y=2的单调递减区间是    ．

二、解答题

14. 难度：中等

如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；
（3）是否存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角，并说明理由．

15. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

17. 难度：中等

在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB²．

18. 难度：中等

化简或求值：
（1）；
（2）．

19. 难度：中等

大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会 试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）