《第1章 常用逻辑用语》2013年单元测试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞-1时，方程ax²+2x-1=0有两个不等实根；
（3）已知x、y为非零自然数，当y-x=2时，y=4，x=2．

2. 难度：中等

变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：
（1）若整数a是偶数，则a能被2整除；
（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（3）相等的两个角的正切值相等．

3. 难度：中等

已知p：x²+mx+1=0有两个不等的负根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0（m∈R）无实根，求：使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．

4. 难度：中等

已知命题p：lg（x²-2x-2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．

5. 难度：中等

判断命题“若m＞0，则方程x²+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假．

6. 难度：中等

已知条件p：-1≤x≤10，q：x²-4x+4-m²≤0（m＞0）不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？

7. 难度：中等

已知，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．

8. 难度：中等

求证：0≤a＜是不等式ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件．

9. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

10. 难度：中等

已知当m∈R时，函数f（x）=m（x²-1）+x-a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+5．
（1）是否存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
（2）若存在一个实数x，使不等式m-f（x）＞0成立，求实数m的取值范围．

12. 难度：中等

已知命题p：函数y=x²+2（a²-a）x+a⁴-2a³在[-2，+∞）上单调递增．q：关于x的不等式ax²-ax+1＞0解集为R．若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．

二、选择题

13. 难度：中等

下列语句是命题的是（ ）
A．梯形是四边形
B．作直线AB
C．x是整数
D．今天会下雪吗

14. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x²-4x+a=0有实根”是假命题

15. 难度：中等

下列命题是真命题的是（ ）
A．{∅}是空集
B．{x∈N||x-1|＜3}是无限集
C．π是有理数
D．x²-5x=0的根是自然数

16. 难度：中等

命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（ ）
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题

17. 难度：中等

命题“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（-x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数
C．若f（-x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（-x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

18. 难度：中等

若“x＞y，则x²＞y²”的逆否命题是（ ）
A．若x≤y，则x²≤y²
B．若x＞y，则x²＜y²
C．若x²≤y²，则x≤y
D．若x＜y，则x²＜y²

19. 难度：中等

若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的（ ）
A．逆命题
B．逆否命题
C．否命题
D．以上判断都不对

20. 难度：中等

“”是“tanx=1”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件

21. 难度：中等

设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

22. 难度：中等

已知条件：p：y=lg（x²+2x-3）的定义域，条件q：5x-6＞x²，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

23. 难度：中等

如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（ ）
A．命题p不一定是假命题
B．命题q不一定是真命题
C．命题q一定是真命题
D．命题p与命题q真假性相同

24. 难度：中等

若命题p：∀x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤-3或a＞2
B．a≥2
C．a＞-2
D．-2＜a＜2

25. 难度：中等

已知命题p：存在x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④

三、填空题

26. 难度：中等

给出下列命题：
（1）命题“若b²-4ac＜0，则方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题
（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题
（3）命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题
（4）“若m＞1，则mx²-2（m+1）x+（m-3）＞0的解集为R”的逆命题
其中真命题的序号为    ．

27. 难度：中等

判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，非p形式的命题的真假：
（1）p：负数的平方是正数，q：有理数是实数；   
（2）p：2≤3，q：3＜2；   
（3）p：35是5的倍数，q：41是7的倍数．    ．

28. 难度：中等

命题“若a＜b，则2^a＜2^b”的否命题为    ，命题的否定为    ．

29. 难度：中等

“a≥5且b≥3”的否定是    ；“a≥5或b≤3”的否定是    ．

30. 难度：中等

命题“对任何x∈R，|x-2|+|x-4|＞3”的否定是    ．

31. 难度：中等

写出下列命题的否定，然后判断其真假：
（1）p：方程x²-x+1=0有实根；   
（2）p：函数y=tan x是周期函数；   
（3）p：∅⊆A；   
（4）p：不等式x²+3x+5＜0的解集是∅．    ．

32. 难度：中等

指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
（1）若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a^x＞0．   
（2）对任意实数x₁，x₂，若x₁＜x₂，则tan x₁＜tan x₂．   
（3）∃T∈R，使|sin（x+T）|=|sin x|．   
（4）∃x∈R，使+1＜0．    ．

33. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，tan x=；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p且q”是    命题．（填“真”或“假”）