2011-2012学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，那么集合∁_UA的子集有（ ）
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．
D．

3. 难度：中等

下列函数中，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=x³
B．y=|x|-1
C．y=-x²+1
D．y=3^x

4. 难度：中等

若a∈R，则“a＞8”是“log₂a＞2”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

5. 难度：中等

对于x∈R，函数f（x）满足f（-x）=f（x），且f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）=0，那么使得f（x）＜0成立的x的范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（-∞，-2）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（2，+∞）

6. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（-1）ⁿ，其中n=1，2，3，…．记{a_n}的前n项和为S_n，那么S₉等于（ ）
A．-5
B．-4
C．4
D．5

7. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+4x+a在区间[-3，3]上存在零点，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（-4，21）
B．[-4，21]
C．（-3，21）
D．[-3，21]

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知g（x）=ax是函数f（x）=e^x的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[0，]
C．（0，e]
D．[0，e]

二、填空题

9. 难度：中等

已知命题“p”：“∀x∈R，2^x＞0”，则“￢p”为    ．

10. 难度：中等

已知函数，若f（a）=-8，则实数a=    ．

11. 难度：中等

设a=log₃2，b=log₂3，c=log₂0.3，那么实数a，b，c的大小关系是    ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₄+a₅=    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=，x∈[1，4]，则f（x）的最大值为    ，最小值为    ．

14. 难度：中等

如图，设P是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}是公比为的等比数列；
③当x=1时，y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设a＞0，集合A={x||x|≥2}，B={x|（x-2a）（x+3）＜0}．
（Ⅰ）当a=3时，求集合A∩B；
（Ⅱ）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列的前n项和T_n．

17. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，要建一间体积为75m³，墙高为3m的长方体形的简易仓库．已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计．问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=b成立，其中常数b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）如果关于n的不等式＞（c∈R）的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范围．