2012-2013学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A．8，8
B．10，6
C．9，7
D．12，4

2. 难度：中等

对四组数据进行统计，画出下列四个散点图，对其线性相关系数比较，正确的是（ ）
A．r₃＜r₂＜0＜r₄＜r₁
B．r₂＜r₃＜0＜r₄＜r₁
C．r₃＜r₂＜0＜r₁＜r₄
D．r₂＜r₃＜0＜r₁＜r₄

3. 难度：中等

复数z满足（1+i）z=2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=x+tanx-在点处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设全集U=R，集合A=，则A∩（∁_UB）等于（ ）
A．
B．
C．
D．[-2，2]

7. 难度：中等

电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在R上定义运算*：a*b=2ab+2a+b，且，则不等式f（x）＜-1的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．（-1，2）

9. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-x²，g（x）=alnx+b（a＞0），若对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a，b的取值范围是（ ）
A．0＜a≤，b≥e-1
B．0＜a≤，b≤e-1
C．a≥，b≥e-1
D．a≥，b≤e-1

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，x∈（0，2π），点P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，其中0（0，0），A（2π，0），记△OAP的面积为g（x），则g'（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=lnx•sin2x（x＞0）的导函数是    ．

12. 难度：中等

二项式的展开式中所有二项式系数的和为32，且此二项展开式中x¹⁰项的系数为a，则的值为    ．

13. 难度：中等

观察下列等式
2=2    第1个等式
4+6=10    第2个等式
6+8+10=24    第3个等式
8+10+12+14=44  第4个等式
…
按此规律，第n个式子的右边等于    ．

14. 难度：中等

将大小相同5个不同颜色的小球，放在A、B、C、D、E共5个盒子中，每个球可以任意放在一个盒子里，则恰有两个盒子空且A盒子最多放1个球的放球方法总数为    ．

15. 难度：中等

关于下列命题：
①若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后，方差恒不变；
②满足方程f'（x）=0的x值为函数f（x）的极值点；
③命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的必要不充分条件；
④若函数f（x）=log_ax的反函数的图象过点（-1，b），则a+2b的最小值为；
⑤点P（x，y）是曲线y²=4x上一动点，则的最小值是．
其中正确的命题的序号是    （注：把你认为正确的命题的序号都填上）．

三、解答题

16. 难度：中等

在一段时间内有100辆汽车经过某交通岗，时速（单位：km/h）频率分布直方图如图所示，
（1）求时速超过60km/h的汽车的数量；
（2）从时速在[30，40）与[70，80]的两部分中共取两辆汽车，速度分别为v₁，v₂，求这两辆汽车的时速满足|v₁-v₂|≤10的概率．
（3）以在这段时间内经过交通岗的汽车的频率为概率，求在此交通岗经过的5辆汽车中恰有2辆汽车的速度在[40，50）的概率．

17. 难度：中等

直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ
（1）若点A（1，），点P是曲线C上任一点，求的取值范围；
（2）若直线l的参数方程是，（t为参数），且直线l与曲线C有两个交点M、N，且，求m的值．

18. 难度：中等

已知f（x）=（1+mx）²⁰¹³=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R）
（1）若m=，求m、a及a₁的值；
（2）若离散型随机变量X～B（4，）且m=EX时，令b_n=（-1）ⁿna_n，求数列{b_n}的前2013项的和T₂₀₁₃．

19. 难度：中等

吉安市某校高二年级抽取了20名学生的今年三月、四月、五月三个月的月考的数学、化学成绩，计算了他们三次成绩的平均分如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数学	120	105	91	124	85	132	121	100	78	135
化学	70	68	74	82	78	71	81	62	54	90
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学	132	92	85	123	100	97	101	96	103	105
化学	85	65	53	77	63	85	73	45	84	72

该校规定数学（≥120分）为优秀，化学（≥80分）为优秀，其余为不优秀．
（1）从这20名学生中随机抽取2名，用X表示数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过10%的前提下认为化学成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关？

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n²，S_n，n成等差数列，a_n＞0（n∈N^*）．
（1）写出a_n与a_n-1（n≥2）的关系并求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（3）设x＞0，y＞0，且x+y=2，求（a_nx+2）²+（a_ny+2）²的最小值（用n表示）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）令g（x）=（1-a）x，当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）令a_n=1+，记数列{a_n}的前n项积为T_n，求证：T_n＜e²．