2012-2013学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={l，2}，B={2，4），则A∪B=（ ）
A．{1}
B．{4}
C．{l，4}
D．{1，2，4}

2. 难度：中等

已知向量=（λ+1，2），=（1，-2）．若与共线，则实数λ的值为（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3

3. 难度：中等

若tanα=3，则的值为（ ）
A．
B．1
C．-l
D．-3

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x+l＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²-x+1≥0
B．∀x∈R，x²-x+1＞0
C．∃x∈R，x²-x+l≥0
D．∃x∈R，x²-x+l＞0

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积是（ ）

A．（4+2）cm²
B．（6+2）cm²
C．（ 6+）cm²
D．（7+） cm²

6. 难度：中等

已知直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（ ）
A．m⊥n，n∥α
B．m∥β，β⊥α
C．m∥n，n⊥α
D．m⊥n，n⊂α

7. 难度：中等

已知函数的图象与x轴的交点分别为（a，0）和（b，0），则函数g（x）=a^x-b图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知，则下列关系正确的是（ ）
A．z＜y＜
B．z＜x＜y
C．x＜y＜z
D．y＜z＜

9. 难度：中等

某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，A设备每天使用时间不超过4h，B设备每天使用时间不起过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ）
A．18万元
B．12万元
C．10万元
D．8万元

10. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数g（x）满足：当x≠0时，xg′（x）＜0（其中g′（x）为函数g（x）的导函数）；定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+2）=-f（x），在区间[0，1]上为单调递增函数，且函数y=f（x）在x=-5处的切线方程为y=-6．若关于x的不等式g[f（x）]≥g（a²-a+4）对x∈[6，10]恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．-2≤a≤3
B．a≤-1或a≥2
C．-1≤a≤2
D．a≤-2或a≥3

二、填空题

11. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-2x+3，则f（f（1））=    ．

12. 难度：中等

已知正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的半径为    ．

13. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（其中a、b为正实数）经过圆C：x²+y²十2x-4y+l=0的圆心，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于25的概率为    ．

15. 难度：中等

对抛物线C：x²=4y，有下列命题：
①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；
②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l₁，直线l₂过点Q且与l₁垂直，则l₂一定平分∠RQF．
其中你认为是真命题的所有命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且．a₂是a₁、a₄的等比中项，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n记数列的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

17. 难度：中等

已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=-1．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．

18. 难度：中等

某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．
（I）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；
（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“待整改”，求该车间“待整改”的概率．（注：方差，，其中为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，E、F分别为PC、BD的中点．
（I）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若G为线段AB的中点，求二面角C-PD-G的余弦值．

20. 难度：中等

记平面内与两定点A₁（-2，0），A₂（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A₁，A₂两点所构成的曲线为C
（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；
（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l₁交曲线C于M．N两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l₂交x轴于点Q，且满足•．试求的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞1）使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．