2012-2013学年浙江省宁波市三校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={-1，0，1}，N={y|y=sinx，x∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{0}
C．{-1}
D．{-1，0，1}

2. 难度：中等

命题p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≤1，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
B．p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
C．p是真命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
D．p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≥1

3. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（-2，+∞）
B．[-1，+∞）
C．[0，+∞）
D．（-∞，-2）

4. 难度：中等

已知集合S={x∈N|-2＜x-1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是（ ）
A．32
B．31
C．16
D．15

5. 难度：中等

若f（x）=（a+1）x²+（a-2）x+a²-a-2是偶函数，则a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

7. 难度：中等

函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象如图所示，则x₁²+x₂²等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知命题p：函数y=log _0.5（x²+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=（x-a）²在（2，+∞）上是增函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1或a≥2
B．a≤2
C．1＜a≤2
D．a≤1

9. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+3x-9，已知f（x）在x=-3时取得极值，则a=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

10. 难度：中等

函数f（x）=（x³+1）（x³+2）…（x³+100）在x=-1处的导数值为（ ）
A．0
B．100!
C．3•99!
D．3•100!

二、填空题

11. 难度：中等

已知全集U=R，A={y|y=2^x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁_UA）∩B    ．

12. 难度：中等

幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数．当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x⁴，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，则a•b=    ．

15. 难度：中等

已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为    ．

16. 难度：中等

已知集合A={x|（x²+ax+b）（x-1）=0}，集合B满足条件：A∩B={1，2}，A∩（C_UB）={3}，U=R，则a+b等于    ．

17. 难度：中等

有下列命题：
①命题“∃x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x²+1≤3x”；
②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；
③若p（x）=ax²+2x+1＞0，则“∀x∈R，p（x）是真命题”的充要条件为 a＞1；
④若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0，f（x）=3^x+3x+a，则f（-2）=-14；
⑤不等式的解集是．
其中所有正确的说法序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值； 
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-＜2．

19. 难度：中等

已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．

22. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=-
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．