2012-2013学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={-1，2}，B={x|-1＜x≤2}，则A∩B等于．
A．{x|-1≤x≤2}
B．{2}
C．{-1}
D．{-1，2}

2. 难度：中等

已知点A（-1，1），点B（2，y），向量=（1，2），若，则实数y的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

已知，则cos（π+2α）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

5. 难度：中等

已知动点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．
D．

6. 难度：中等

如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（ ）
A．8π
B．6π
C．
D．

7. 难度：中等

已知点P是抛物线x²=4y上的动点，点P在直线y+1=0上的射影是点M，点A的坐标（4，2），则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．
B．
C．3
D．2

8. 难度：中等

已知与向量v=（1，0）平行的直线l与双曲线相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．2

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

10. 难度：中等

已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交﹑平行或异面

11. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x_+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₆•a₇=1，a₁₀•a₁₁=16，则a₈•a₉等于    ．

14. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=    ．

15. 难度：中等

已知直线ax-2by=2（a＞0，b＞0）过圆x²+y²-4x+2y+1=0的圆心，ab的最大值为    ．

16. 难度：中等

若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“K函数”，给出下列三个命题：
①y=x^-2是“K函数”；
②y=2^x是“K函数”；
③y=lnx是“K函数”，
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，-1）．
（1）求sin2α-tanα的值：
（2）若函数f（x）=sin2x•cosα+cos2x•sinα，求f（x）在[0，]上的单调递增区间．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

19. 难度：中等

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D-ACF的体积．

20. 难度：中等

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[2+]k元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F₁AB=90°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．