2012-2013学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足z=i（2-i）（其中i为虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为    ．

4. 难度：中等

已知向量，，若，则λ=    ．

5. 难度：中等

有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为    ．

6. 难度：中等

甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：

品种	第1年	第2年	第3年	第4年
甲	9.8	9.9	10.2	10.1
乙	9.7	10	10	10.3

其中产量比较稳定的水稻品种是    ．

7. 难度：中等

若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于a，则该双曲线的离心率为    ．

8. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=    ．

9. 难度：中等

观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为     （n∈N^*）．

10. 难度：中等

若，则a+a₂+a₄+a₆+a₈的值为    ．

11. 难度：中等

某停车场内有序号为1，2，3，4，5的五个车位顺次排成一排，现在A，B，C，D四辆车需要停放，若A，B两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

若函数f（x）=ln（ae^x-x-3）的定义域为R，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y²=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于    ．

14. 难度：中等

已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

16. 难度：中等

由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为．已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元．
（1）求生产3件产品恰有2件正品的概率；
（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

已知，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

18. 难度：中等

为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．

19. 难度：中等

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．

20. 难度：中等

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

21. 难度：中等

设函数f（x）=alnx，．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x，使得成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

设函数f（x）=alnx，g（x）=x²．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若a=1，对任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．