2012-2013学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=-x²焦点坐标是（ ）
A．（，0）
B．（，0）
C．（0，）
D．（0，）

2. 难度：中等

点M的极坐标是，则M的直角坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（2，-3，5）与向量=（3，k，）平行，则实数k为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

设椭圆的两个焦点为F₁，F₂，若双曲线C上的动点到F₁，F₂的距离之差的绝对值是8，则双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线与曲线（k＜9）的（ ）
A．焦距相等
B．长、短轴相等
C．离心率相等
D．准线相同

6. 难度：中等

已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．l∥平面α
B．l∥平面α或l⊂平面α
C．l⊥平面α
D．l⊂平面α

7. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则此时B、D的距离是 （ ）
A．2或
B．2或
C．2
D．1或

9. 难度：中等

已知向量=（x，y），=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|，则成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A．-3＜λ＜3
B．-1＜λ＜1
C．λ＞3或λ＜-3
D．λ＞1或λ＜-1

10. 难度：中等

一只小球放入一长方体容器内，且恰与共点的三个面接触，若该球面上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径是（ ）
A．2或11
B．8或11
C．5或8
D．3或8

二、填空题

11. 难度：中等

向量与的夹角的余弦值为    ．

12. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，DD₁=2，则AC₁与面BDD₁所成角的大小是    ．

13. 难度：中等

设抛物线y²=4x的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则弦AB的长为    ．

14. 难度：中等

P（x，y）是曲线（α为参数）上任意一点，则（x-5）²+（y+4）²的最大值为    ．

15. 难度：中等

先阅读第（1）题的解法，再解决第（2）题：
（1）已知向量，求x²+y²的最小值．
【解析】
由得，当时取等号，
所以x²+y²的最小值为
（2）已知实数x，y，z满足2x+3y+z=1，则x²+y²+z²的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知定点F（0，1）和定直线l：y=-1，过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C
（1）求动圆的圆心C的轨迹W的方程；
（2）设点P是W上的一动点，求PF的中点M的轨迹方程．

18. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．
（1）求AC₁的长；
（2）求异面直线AC₁与A₁B所成角的余弦值．

19. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线与椭圆的交点，求cos∠F₁PF₂．

20. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；
（3）当时，求点P到平面ABE的距离．

21. 难度：中等

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．