2011-2012学年北京十八中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列曲线中离心率为的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．若p或q为假命题，则p、q均为假命题．
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件．
C．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”．
D．对于命题p：存在x∈R使得x²+x+1＜0，则非p：存在x∈R，使x²+x+1≥0．

3. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形．
A．4
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．x-y-2=0
B．x+y-2=0
C．x+4y-5=0
D．x-4y+3=0

5. 难度：中等

△ABC中，A（-2，0）、B（2，0）、C（3，3），则 AB边的中线对应方程为（ ）
A．y=
B．y=x（0≤x≤3）
C．y=-
D．y=-x（0≤x≤3）

6. 难度：中等

已知P为△ABC所在平面α外一点，侧面PAB、PAC、PBC与底面ABC所成的二面角都相等，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

7. 难度：中等

如图，椭圆上的点M到焦点F₁的距离为2，N为MF₁的中点，则|ON|（O为坐标原点）的值为（ ）

A．4
B．2
C．8
D．

8. 难度：中等

已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

函数f （x）=x•e^x的导函数f′（x）=    ；已知函数f（x）在区间[0，3]内的图象如图所示，记k₁=f′（1），k₂=f′（2），k₃=f（2）-f（1），则k₁、k₂、k₃之间的大小关系为    ．（请用“＞”连接）．

10. 难度：中等

已知=（3λ，6，λ+6），=（λ+1，3，2λ）为两平行平面的法向量，则λ=    ．

11. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，则二面角O₁-BC-D的大小为    ．

12. 难度：中等

命题“∃x∈R，使ax²-2ax+3＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为    ；设F₁和F₂为双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为    ；经过抛物线y=的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若y₁+y₂=5，则线段AB的长等于    ．

14. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是    （填序号）．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2，求a，b 的值．

16. 难度：中等

如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当E为PB中点时，求证：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．
（3）当且E为PB的中点时，求AE与平面PBC所成的角的大小．

17. 难度：中等

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点，点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

18. 难度：中等

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．