2012-2013学年重庆市江北中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，cos²=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形

2. 难度：中等

若，则f（2012）等于（ ）
A．0
B．ln2
C．1+e²
D．1+ln2

3. 难度：中等

已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=-，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若为单位向量，且=0，，则的最大值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．2

二、填空题

5. 难度：中等

设i是虚数单位，则=    ．

6. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

7. 难度：中等

设的最大值为16，则θ=    ．

8. 难度：中等

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，-1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=    ．

9. 难度：中等

对于下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；
③设，，，则a＞b＞c；
④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

10. 难度：中等

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足S_n=2n²-n，且a₁，a₂依次是等比数列{b_n}的前两项．
（1）求数列{a_n} 及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

11. 难度：中等

已知向量=（cos，sinx），=（cos，-sin），且x∈[0，]．
（1）求||
（2）设函数f（x）=||+，求函数f（x）的最值及相应的x的值．

12. 难度：中等

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．
（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，（x∈R）
（1）当x∈[-，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

14. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

15. 难度：中等

设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{aⁿ+2ⁿ}是等比数列
（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．

四、选择题

16. 难度：中等

复数z=1-i的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

17. 难度：中等

己知A={x|y=}，B={y|y=x²-2}，，则A∩B=（ ）
A．[0，+∞）
B．[-2，2]
C．[-2，+∞）
D．[2，+∞）

18. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

19. 难度：中等

函数零点的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

20. 难度：中等

函数y=3sin（-2x-）（x∈[0，π]）的单调递增区间是（ ）
A．[0，]
B．[，]
C．[，]
D．[，]

21. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列的前100项和为（ ）
A．
B．
C．
D．