2008-2009学年湖北省黄冈中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A=，∁_UA=（-1，-a），则a+b=（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．0

2. 难度：中等

将函数y=log₂x的图象按向量平移后，得到的图象，则（ ）
A．=（1，2）
B．=（1，-2）
C．=（-1，2）
D．=（-1，-2）

3. 难度：中等

等差数列{a_n}共有2m项，其中奇数项之和为90，偶数项之和为72，且a_2m-a₁=-33，则该数列的公差为（ ）
A．-1
B．-2
C．-3
D．3

4. 难度：中等

已知函数y=2sinωx（ω＞0）在[-，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（ ）
A．（0，]
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，]

5. 难度：中等

设命题P：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；命题Q：在△ABC中A＞B是cos²（）＜cos²（）成立的必要非充分条件，则（ ）
A．P真Q假
B．P且Q为真
C．P或Q为假
D．P假Q真

6. 难度：中等

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁•x₂=（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

7. 难度：中等

从编号分别为1，2，3，…9的9张卡中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x、y、z，则y-x≥2且z-y≥2的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

1、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，对于下列结论：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角为45°；
（3）点A和点C₁在该正方体外接球表面上的球面距离为；
（4）E到平面ABC₁的距离为（E为A₁B₁中点）
其中正确的结论个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

设a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），定义一种向量积：a⊗b=（a₁，b₁）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知m=，n=，点P（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（x，f（x））=m⊗n（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别（ ）
A．2，π
B．2，4π
C．，4π
D．，π

10. 难度：中等

椭圆C₁：的左准线为l，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂，C₁与C₂的一个交点为P，线段PF₂的中点为G，O是坐标原点，则的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若x¹⁰+x⁴+1=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，则a₁+a₂+…a₉+a₁₀=    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，点M（2，1）点N（x，y）满足，则的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为     ．

14. 难度：中等

对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]为高斯实数或取实数，若，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_3n=    ．

15. 难度：中等

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a²+b²-c²）=3ab；
（1）求；         
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q．若第k次出现“○”，则a_k=1；出现“×”，则a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（1）当p=q=时，求S₆≠2的概率；
（2）当p=，q=时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+，且，当x＞时，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

在△ABC中，，点B是椭圆的上顶点，l是双曲线x²-y²=-2位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．
（1）求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
（2）过定点F（0，）作互相垂直的直线l₁、l₂，分别交轨迹E于点M、N和点R、Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

21. 难度：中等

函数f（x）=（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{-}的项中仅-最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：++…+＜．