2011-2012学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x，则f′（x）=    ．

3. 难度：中等

已知复数z=2+i（i为虚数单位），则对应的点在第    象限．

4. 难度：中等

双曲线-=1的焦点坐标是    ．

5. 难度：中等

设直线l₁：ax-2y+1=0，l₂：（a-1）x+3y=0，若l₁∥l₂，则实数a的值是    ．

6. 难度：中等

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点（2，2），则此抛物线方程为    ．

7. 难度：中等

已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=x-sinx在区间[0，π]上的最小值是    ．

9. 难度：中等

设椭圆+=1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若△OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为    ．

10. 难度：中等

如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=    ．

11. 难度：中等

若圆x²+y²=r²（r＞0）与圆（x+3）²+（y-4）²=36相交，则r的取值范围是    ．

12. 难度：中等

给出下列命题
①“a＞b”是“a²＞b²”的充分不必要条件；
②“lga=lgb”是“a=b”的必要不充分条件；
③若x，y∈R，则“|x|=|y|”是“x²=y²”的充要条件；
④△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件．
其中真命题是    ．（写出所有真命题的序号）

13. 难度：中等

观察等式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，4+5+6+7+8+9+10=7²，…由此归纳，可得到一般性的结论是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．给出下列四个函数：
①f（x）=x³-x²+x+1；
②f（x）=lnx+；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x；
④f（x）=，
其中具有性质P（2）的函数是    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数z₁=m（m-1）+（m-1）i是纯虚数．
（1）求实数m的值；
（2）若（3+z₁）z=4+2i，求复数z．

16. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_ax在（0，+∞）上是增函数；命题q：关于x的方程x²-2ax+4=0有实数根．若p∧q为真，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

设直线l：4x+3y+a=0和圆C：x²+y²+2x-4y=0．
（1）当直线l过圆C的圆心时，求实数a的值；
（2）当a=3时，求直线l被圆C所截得的弦长．

18. 难度：中等

某公司需制作容积为216ml的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省？

19. 难度：中等

已知椭圆C的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），焦点到短轴端点的距离为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P是椭圆C上的一点，且在第一象限．若△PF₁F₂为直角三角形，试判断直线PF₁与圆O：x²+y²=的位置关系．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，且对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，求实数a的最小值．