2012-2013学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算cos23°sin53°-sin23°cos53°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，-a，-b的大小关系是（ ）
A．a＞b＞-b＞-a
B．a＞-b＞-a＞b
C．a＞-b＞b＞-a
D．a＞b＞-a＞-b

3. 难度：中等

若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃•a₇=4a₄²，a₂=2，则a₁=（ ）
A．1
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A．x²+y²-2x+4y=0
B．x²+y²+2x+4y=0
C．x²+y²+2x-4y=0
D．x²+y²-2x-4y=0

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，若a₁=，则a₆的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

不等式x²+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-2，0）
B．（-∞，-2）∪（0，+∞）
C．（-4，2）
D．（-∞，-4）∪（2，+∞）

8. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-6x-8y=0，若过圆内一点（3，5）的最长弦为AC，最短弦为BD；则四边形ABCD的面积为（ ）
A．20
B．15
C．10
D．

9. 难度：中等

已知△ABC中，，BC=2，则角A的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知实系数一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x₁，x₂，且 0＜x₁＜1，x₂＞1，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则sin2x的值为    ．

12. 难度：中等

如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，∠BAC=105°，∠ACB=45°，则A、B两点之间为    米．

13. 难度：中等

若曲线y=1+，x∈[-2，2]与直线y=k（x-2）+4有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的正整数m，n都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则=    ．

15. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式：
①ab≤1；
②；
③a²+b²≥2；
④，
其中成立的是    （写出所有正确命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，，求b的值．

17. 难度：中等

已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin²+cos2B=1
（1）若b=，a=3，求c的值；
（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

19. 难度：中等

为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额-生产成本-技术改革费用）；
（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

20. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|
（1）求实数a，b间满足的等量关系式；
（2）求△OQP面积的最小值；
（3）求||PO|-|PQ||的最大值．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，当n≥2时，
（1）求证为等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．