2011-2012学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知圆的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A．ρ=2cosθ
B．ρ=2sinθ
C．ρ=-2cosθ
D．ρ=-2sinθ

3. 难度：中等

已知向量，=（0，-2）．若实数k与向量满足+2=k，则可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．3
B．-6
C．10
D．-15

5. 难度：中等

已知P（x，y）的坐标满足：，那么x²+y²的取值范围是（ ）
A．[1，4]
B．[1，5]
C．
D．

6. 难度：中等

已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（ ）
A．a＞b-1
B．a＞b+1
C．|a|＞|b|
D．2^a＞2^b

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A．8
B．
C．4
D．

8. 难度：中等

已知点A（-1，-1）．若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）；  
②；  
③．
其中，Γ型曲线的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

10. 难度：中等

若双曲线x²-ky²=1的一个焦点是（3，0），则实数k=    ．

11. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若，则=    ．

12. 难度：中等

已知{a_n}是公比为2的等比数列，若a₃-a₁=6，则a₁=    ；=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则c=    ；a=    ．

14. 难度：中等

有限集合P中元素的个数记作card（P）．已知card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足A⊆X⊆M，则集合X的个数是    ；若集合Y满足Y⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，则集合Y的个数是    ．（用数字作答）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆C：的一个焦点是F（1，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y），求y的取值范围．

19. 难度：中等

（理）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“生成数列”．
（1）若数列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成数列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n为偶数，且A_n的“生成数列”是B_n，证明：B_n的“生成数列”是A_n；
（3）若n为奇数，且A_n的“生成数列”是B_n，B_n的“生成数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…证明：数列Ω_i是等差数列，并说明理由．