2011-2012学年广东省广州二中高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}则∁_U（A∩B）=（ ）
A．{2，3}
B．{1，4，5}
C．{4，5}
D．{1，5}

2. 难度：中等

复数的实部是（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

3. 难度：中等

函数y=sin（x+）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称

4. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x³-x²+1≤0
B．存在x∈R，x³-x²+1≤0
C．存在x∈R，x³-x²+1＞0
D．对任意的x∈R，x³-x²+1＞0

5. 难度：中等

已知向量=（1，n），=（-1，n），若与垂直，则n=（ ）
A．1
B．±1
C．0
D．-1

6. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=2，S₂=10，则S₃等于（ ）
A．12
B．18
C．24
D．42

7. 难度：中等

已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（ ）
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

圆x²+y²-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．（x+3）²+（y-2）²=2
D．（x-3）²+（y+2）²=2

9. 难度：中等

已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
B．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α

10. 难度：中等

某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A．y=[]
B．y=[]
C．y=[]
D．y=[]

二、填空题

11. 难度：中等

设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于    ．

13. 难度：中等

为调查学生作业量，某校随机抽查100名学生，统计每个学生平均每天完成各科作业所用时间（单位：小时），结果如下表所示：

时间	1.5～2.5	2.5～3.5	3.5～4.5
频数	20	50	30

根据上面统计结果，可以估计该校每个学生平均每天完成作业所用时间为    小时．

14. 难度：中等

（理）在直角坐标系中，圆C的参数方程是（θ为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=10，CD=8，则线段AC的长度为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图A、B、C是圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，AB=OC．
（Ⅰ）求cos∠COA、sin∠COA；
（Ⅱ）求△BOC的面积．

17. 难度：中等

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：


（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．

18. 难度：中等

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AA₁=a，AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=．

（Ⅰ）在正视图右边及下方区域画出其侧视图、俯视图（在答卷上作答）
（II）证明：PD⊥平面PBC；
（III）证明：当a=2时，PC∥平面AB₁D．

19. 难度：中等

已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪几条直线与C₁和C₂都相切？（求出公切线方程）

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由．
（II）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
（III） 将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后与抛物线y=ax²（a为非0常数）的图象有几个交点？（说明理由）