2011-2012学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k₁，k₂，则k₁，k₂的大小关系为（ ）
A．k₁＞k₂
B．k₁＜k₂
C．k₁=k₂
D．不确定

2. 难度：中等

命题“存在x∈Z使x²+2x+m≤0”的否定是（ ）
A．存在x∈Z使x²+2x+m＞0
B．不存在x∈Z使x²+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x²+2x+m≤0
D．对任意x∈Z使x²+2x+m＞0

3. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若a，b，c∈R，且a＞b，则ac²＞bc²
B．若a＞b，c＞d，则＞
C．若a，b∈R，且a＞|b|，则aⁿ＞bⁿ（n∈N^*）
D．若a，b∈R，且a•b≠0，则+≥2

4. 难度：中等

已知变量x，y满足，则z=x-y+5的最大值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．5

5. 难度：中等

以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有四个交点，则椭圆的离心率的变化范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（，1）
D．（，1）

6. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，且每一项都是正数，若a₁，a₄₉是2x²-7x+6=0的两个根，则a₁•a₂•a₂₅•a₄₈•a₄₉的值为（ ）
A．9
B．
C．±9
D．3⁵

7. 难度：中等

若函数f（x），g（x）的定义域和值域都是R，则“f（x）＜g（x），x∈R”成立的充要条件是（ ）
A．∃x∈R，使得f（x）＜g（x）
B．不存在任何实数x，使得f（x）≥g（x）
C．∀x∈R，都有f（x）+＜g（x）
D．存在无数多个实数x，使得f（x）＜g（x）

8. 难度：中等

已知a为常数，若曲线段y=ax²+3x（x∈（0，4））存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-，+∞]
B．（-∞，-）
C．[-，+∞]
D．（-∞，-）

9. 难度：中等

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）．


试问三角形数的一般表达式为（ ）
A．n
B．n（n+1）
C．n²-1
D．n（n-1）

10. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

11. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A．-1＜b＜0
B．b＞2
C．b＜-1或b＞2
D．不能确定

12. 难度：中等

设F₁、F₂为双曲线-=1（0＜θ≤，b＞0）的两个焦点，过F₁的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF₂B的周长的最大值是（ ）
A．4-m
B．4
C．4+m
D．4+2m

二、填空题

13. 难度：中等

若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线对应的函数解析式f（x）=    ．

14. 难度：中等

已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为    ．

15. 难度：中等

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为    ．

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26．记T_n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线，求f（x），g（x）的表达式．

18. 难度：中等

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（异于原点）．
（1）证明：=；
（2）当a=2p时，求证：OM⊥ON．

19. 难度：中等

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列．

21. 难度：中等

已知命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0；命题P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆G：+y²=1，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A、B两点．
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）当m变化时，求S_△OAB的最大值．