2008-2009学年广东省佛山一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图给出的是计算值的一个程序框图，其中判断框中可填入的条件是    ．

2. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则=    ．

3. 难度：中等

如示意图，甲站在水库底面的点D处，乙站在水拟斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30米、CB=40米，AB的长为20米，则甲乙两人相距    米．

4. 难度：中等

请阅读以下材料，然后解决问题：
①设椭圆的长半轴长为m短半轴长为b，则椭圆的面积为πab
②我们把由半椭圆C₁：+=1 （x≤0）与半椭圆C₂：+=1 （x≥0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0
如图，设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，若△FF₁F₂是边长为1的等边三角形，则上述“果圆”的面积为：    ．

二、解答题

5. 难度：中等

先后2次抛掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b=7的概率；
（2）求直线ax+by+5=0与圆x²+y²=1相切的概率．

6. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=，E、F分别是AB、CD的中点
（1）求证：D₁E⊥平面AB₁F；
（2）求直线AB与平面AB₁F所成的角；
（3）求二面角A-B₁F-B的大小．

7. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，{b_n }是公差不为0的等差数列，其中b₂、b₄、b₉依次成等比数列，且a₂=b₂
（1）求数列{a_n }和{b_n}的通项公式：
（2）设c_n=，求数列{c_n）的前n项和T_n．

8. 难度：中等

抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反象后，沿平行于抛物线对称轴的肖向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线C，其顶点是坐标原点，对称辅为x轴．开口向右．一光源在点M处，由其发出一条平行于x轴的光线射向抛物线C卜的点P（4.4），经抛物线C反射后，反射光线经过焦点F后射向抛物线C上的点Q，再经抛物线C反射后又沿平行于X轴的方向射出，途中经直线l：2x-4y-17=0上点N反射后又射回点M．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求PQ的长度；
（3）判断四边形MPQN是否为平行四边形，若是请给出证明，若不是请说明理由．

9. 难度：中等

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）
（1）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式
（2）若函数f（x）在[-2，1]上的最大值为10，求a的值及f（x）在[-2，11]的最小值．

10. 难度：中等

如图，直线l_l：y=2x与直线l₂：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w₁，右半部分记为W₂．
（1）分别用不等式组表示w₁和w₂：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于M_l，M₂两点，且与l_l，l₂如分别交于M₃，M₄两点．求证△OM_lM₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（x_l，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则△ABC的重心坐标为（，）】

三、选择题

11. 难度：中等

命题P：∀x∈R，x²+1≥2x，则￢P为（ ）
A．∀x∈R，x²+l＜2
B．∃x∈R，x²+1≤2
C．∃x∈R，x²+l≥2
D．∃x∈R．x²+1＜2

12. 难度：中等

没平面α的法向量为、直线l方向向量为，“∥”是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

13. 难度：中等

某学校对高一年级的学生进行体检．现将高一男生的体重（单位：㎏）数据进行整理后分成五组，其频率分布直方图如右图．根据一般标准，高一男生的体重超过65㎏属于偏胖，低于55㎏属于偏瘦，其中体重为55～60㎏小组的频数为400，则该校高一年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ）
A．800，0.60
B．1000，0.50
C．800，0.50
D．1000，0.60

14. 难度：中等

空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（-l，1，2），以下四点中，在直线AB上的是（ ）
A．（3，2，1）
B．（-2，4，5）
C．（7，5，6）
D．（2，3，4）

15. 难度：中等

设椭圆（m＞0，n＞0）的一个焦点与抛物线x²=4y的焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

命题p：“方程表示的曲线是双曲线”，命题q：“函数y=（2k-1）^x是R 上的增函数．”若复合命题“p∧q”与“p∨q”一真一假，则实数k的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．（5，2）
C．（5，1）U（2，+∞）
D．（-5，1]U[2，+∞）

17. 难度：中等

设p为椭圆等=1（m≥32）上的一点，F₁，F₂是该椭圆的两个焦点，若cos∠F₁PF₂=则△PF₁F₂的面积是（ ）
A．48
B．16
C．32
D．与m有关的值

18. 难度：中等

设偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

四、填空题

19. 难度：中等

历史上曾有人用试验的方法来计算圆周率“π”的近似值，其做法是：如图，往一个画有内切圆的正方形区域内随机撒芝麻，利用落入圆内芝麻的频率来计算“π”的近似值．某人某次试验共往正方形区域内随机撇下了1000粒芝麻，统计出落入圆内的芝麻数共有786粒，则此次试验可计算出的“π”的近似值为：    ．

20. 难度：中等

甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计入茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X_甲、X_乙，由图中信息可知：X_甲     X_乙 （填“＜”、“＞”或“=”）；甲、乙两人中     （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定．