2010-2011学年湖北省襄樊市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜2
B．1≤a≤2
C．φ
D．1＜a≤2

2. 难度：中等

函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞）上为增函数，的充分必要条件是（ ）
A．a=1且b=0
B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b≤0
D．a＞0且b＜0

3. 难度：中等

已知向量且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），则当n≥1时，log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a_2n-1=（ ）
A．（n-1）²
B．n²
C．（n+1）²
D．n²-1

7. 难度：中等

设函数f（x）=x^m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N^*）的前n项和是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线y=xlnx在点M（e，e）处切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则a-b=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上，且周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，那么实数a的值为（ ）（k∈z）
A．k
B．2k
C．2k或2k-
D．k或k-

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）的图象关于点成中心对称，对任意的实数x有f（x）=-f（x+），且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值为（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．-2

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为，，则a_n=    ．

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，则f（33）=    ．

13. 难度：中等

已知A={a，b，c}，B={0，1，2}，且满足f（a）+f（b）=f（c）的映射f，A→B有    个．

14. 难度：中等

抛物线y=x²，x轴及直线AB：x=1围成如图所示的阴影部分，把线段OA等分成n等份，作以为底的内接矩形，阴影部分的面积S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值，则S的值为    ．

15. 难度：中等

用[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]=3，[-3.4]=-4，[0]=0，设函数f（x）=[x]-x（x∈R），关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（x）的值域为[0，1）
②f（x）是偶函数  
③f（x）是周期函数，最小正周期为1  
④f（x）是增函数．
其中正确命题的序号是：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|x-1|＜a的解集为∅，若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，且a_n是b_n和1的等差中项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若，求；
（3）若是否存在n∈N^*，使f（n+11）=2f（n）？说明理由．

18. 难度：中等

函数的定义域为（0，1]（a＜0），
（1）若a=-1，求函数y=f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，并求出函数取最值时相应x的值．

19. 难度：中等

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x²成正比；②当x=时，y=a³，并且技术改造投入满足∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．

20. 难度：中等

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证；
（3）当n∈N₊且n≥2时，求证：．

21. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．