2012-2013学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷A（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a-ai=b+i，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a+b=（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．2

2. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极值点是（ ）

A．x₁，x₃，x₅
B．x₂，x₃，x₄
C．x₁，x₅
D．x₂，x₄

3. 难度：中等

已知服从正态分布N（μ，σ²）的随机变量在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ），和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%，和99.7%．某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165，5²），则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制（ ）
A．683套
B．954套
C．972套
D．997套

4. 难度：中等

用数学归纳法证明（a≠1，n∈N^*），在验证当n=1时，等式左边应为（ ）
A．1
B．1+a
C．1+a+a²
D．1+a+a²+a³

5. 难度：中等

的二项展开式中，x²y⁴项的系数是（ ）
A．45
B．90
C．135
D．270

6. 难度：中等

曲线y=2sinx在点P（π，0）处的切线方程为（ ）
A．y=-2x+2π
B．y=0
C．y=-2x-2π
D．y=2x+2π

7. 难度：中等

投掷一枚骰子，若事件A={点数小于5}，事件B={点数大于2}，则P（B|A）=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从n（n∈N^*，且n≥2）人中选两人排A，B两个位置，若其中A位置不排甲的排法数为25，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为（ ）

X	4	a	9
P	m	0.2	0.5

A．5
B．6
C．7
D．8

10. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-2）=2013，对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x²+2009的解集为（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，+∞）
C．（-∞，-2）
D．（-∞，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

若复数（i是虚数单位），则z的模|z|=    ．

12. 难度：中等

若根据儿童的年龄x（岁）和体重y（kg），得到利用年龄预报体重的线性回归方程是．现已知5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重大约是    （kg）．

13. 难度：中等

由曲线和直线，x=3及x轴所围图形的面积为    ．

14. 难度：中等

电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷．图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有    ，下面一定有雷的方块有    ．（请填入所有选定方块上的字母）

三、解答题

15. 难度：中等

已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数（m+z）²所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了160人，其中女生85人，男生75人．女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球．（每人必须选一项，且只能选一项）
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与体育选修项目有关？
参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d．

K^2≥k	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

17. 难度：中等

已知函数（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值．

18. 难度：中等

根据以往资料统计，大学生购买某品牌平板电脑时计划采用分期付款的期数ζ的分布列为

ζ	1	2	3
P	0.4	0.25	0.35

（1）若事件A={购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款}，求事件A的概率P（A）；
（2）若签订协议后，在实际付款中，采用1期付款的没有变化，采用2、3期付款的都至多有一次改付款期数的机会，其中采用2期付款的只能改为3期，概率为；采用3期付款的只能改为2期，概率为．数码城销售一台该平板电脑，实际付款期数ζ'与利润η（元）的关系为

ζ'	1	2	3
η	200	250	300

求η的分布列及期望E（η）．

19. 难度：中等

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：（n∈N^*）．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间内单调递减，求此时k的取值范围．