2010-2011学年湖北省孝感高中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果执行如图的框图，输入N=3，则输出的数等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则-p为：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
B．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

过点A（1，-1）且与线段3x-2y-3=0（-1≤x≤1）相交的直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，π）
C．[0，]∪[，π）
D．（0，]∪[]

4. 难度：中等

如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC-A′B′C′的正视图（也称主视图）是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a∥α，b⊥β，α∥β
C．a⊥α，b⊥β，α∥β
D．a∥α，b∥β，α⊥β

6. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为棱BB₁的中点，则在平面BCC₁B₁内过点P与直线AC成50°角的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条

7. 难度：中等

正四棱锥相邻侧面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，则2cosα+cos2β的值是（ ）
A．-1
B．1
C．
D．2

8. 难度：中等

θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程所表示的曲线为（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

9. 难度：中等

若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如右图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a₁和a₂，半焦距分别为c₁和c₂．则下列结论不正确的是（ ）

A．a₁+c₁＞a₂+c₂
B．a₁-c₁=a₂-c₂
C．a₁c₂＜a₂c₁
D．a₁c₂＞a₂c₁

二、填空题

11. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是    ．

12. 难度：中等

已知P：|4-x|≤6，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若￢p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为    ．

14. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=    ．

15. 难度：中等

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是    （写出所有正确结论的编号）．
①矩形；  
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；  
⑤每个面都是直角三角形的四面体．

三、解答题

16. 难度：中等

命题p；f^-1（x）是f（x）=1+2^x的反函数，且丨f^-1（a）丨＜1，命题q：不等式a²-a≤丨x+1丨+丨x-1丨对任意实数x恒成立，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值与最小值．

18. 难度：中等

已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线与曲线E交于不同的两点M、N，当时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．

19. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA₁、CC₁的中点，P是CD上的点．
（1）求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线PE∥平面A₁BF；
（3）求直线PE与平面A₁BF的距离．

20. 难度：中等

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中点，求证：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．