2010-2011学年北京市东城区（南片）高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．=
B．=0
C．=
D．=

2. 难度：中等

函数f（x）=的最小正周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

3. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（2，3），=（3，4），且=λ₁+λ₂，则λ₁，λ₂的值分别为（ ）
A．-2，1
B．-1，2
C．2，-1
D．1，-2

4. 难度：中等

已知cos（-x）=，且x在第三象限，则tan（x-π）的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

5. 难度：中等

不等式a＞b和同时成立的条件是（ ）
A．a＞b＞0
B．a＞0，b＜0
C．b＜a＜0
D．

6. 难度：中等

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin（2x-）
B．y=sin（2x-）
C．y=sin（x-）
D．y=sin（x-）

7. 难度：中等

如图，=（3，3），=（-3，3），E，F是AB上的三等分点，则cos∠ECF的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，，2a₂成等差数列，则的值为（ ）
A．3
B．1-
C．1
D．3-2

9. 难度：中等

若有实数a，使得方程sinx=在[0，2π）上有两个不相等的实数根x₁，x₂，则cos（x₁+x₂）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．

10. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

二、填空题

11. 难度：中等

在区间[-1，2]上随即取一个数x，则x∈[0，1]的概率为     ．

12. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁≠0，a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），前n项和为S_n，则=    ．

13. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是    （写出所有正确命题的编号）．
①ab≤1；
②；
③a²+b²≥2；
④a³+b³≥3；
⑤．

14. 难度：中等

已知tan（+α）=-3．则tan2α=    ．

15. 难度：中等

如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，则可围成的每间虎笼面积最大为    m²．

16. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，），则的最小值为    ，此时f（M）=（    ．

三、解答题

17. 难度：中等

甲袋中有3只白球、7只红球、15只黑球；乙袋中有10只白球、6只红球、9只黑球．
（1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率；
（2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率；
（3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的概率．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）当t为何值时，-t与垂直；
（3）当t为何值时，t+与-2平行，平行时它们是同向还是反向．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=C（其中C为常数，且C≠0  n∈N^*），求证数列{b_n}为等比数列．

21. 难度：中等

设函数f（x）=cos（x+π）+2cos²，x∈[0，π]．
（1）求f（）的值；
（2）求f（x）的最小值及f（x）取最小值时x的集合；
（3）求f（x）的单调递增区间．

22. 难度：中等

给出下面的数表序列：

表1	表2	表3	…
1	1   3	1   3   5
	4	4   8
		12

其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b_n}，求数列{b_n}的前n项和．