2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（∁_UA）∩（∁_UB）等于（ ）
A．{2}
B．{2，5}
C．{3}
D．{1，3，4}

2. 难度：中等

i是虚数单位，若复数z满足z（2-i）=7-i，则z等于（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．3-i
D．3+i

3. 难度：中等

函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（ ）
A．x-4y=0
B．x-4y-2=0
C．x-2y-1=0
D．x+4y-4=0

4. 难度：中等

设a，b，c∈R，则“ac²＜bc²”是“a＜b”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

5. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（ ）
A．a≠0，c=0
B．a=0，c≠0
C．b=0
D．b=0，c=0

6. 难度：中等

对于x∈R，函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），f（x+2）=f（x），若当x∈（0，1]时，f（x）=x+1，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果数列{a_n}（a_n∈R）对任意m，n∈N^*满足a_m+n=a_m•a_n，且a₃=8，那么a₁₀等于（ ）
A．1024
B．512
C．510
D．256

8. 难度：中等

已知函数，若同时满足条件：
①∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8]
B．[8，+∞）
C．（-∞，0）∪[8，+∞）
D．（-∞，0）∪（4，8]

二、填空题

9. 难度：中等

已知命题p：∀x∈[1，+∞），lnx＞0，那么命题¬p为    ．

10. 难度：中等

数列{a_n}满足，则a₂₌    ，a₃₌    ．

11. 难度：中等

设a=3^0.2，b=0.3²，c=log₂0.3，则实数a，b，c的大小关系是    ．

12. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，都有成立，则a_n=    ．

13. 难度：中等

已知函数的图象在x=0和处的切线互相平行，则实数a=    ．

14. 难度：中等

设函数，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₂（x）在区间（）内不存在零点；
②函数f₃（x）在区间（）内存在唯一零点；
③∀n∈N^*，且n≥4，函数f_n（x）在区间内存在零点．
其中所有正确结论的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设a＞0，集合A={x||x|≤a}，B={x|x²-2x-3＜0}，
（I）当a=2时，求集合A∪B；
（II）若A⊆B，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₄=10，数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，其中n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（I）求证：函数f（x）为奇函数；
（II）若a=3，求函数f（x）的极值．

18. 难度：中等

某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．
（I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）；
（II）假设该渔船在其年平均花费额（含购买费用）最低的时候报废，试求此渔船的使用年限？

19. 难度：中等

设函数，且，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃的值；
（II）设a₂=2，求证：数列{b_n}为等比数列；
（III）求证：．

20. 难度：中等

已知函数，．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；
（III）设x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求证：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．