2012-2013学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|0＜2^x＜1}，B={x|log₃x＞0}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜0}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数z=i+2i²+3i³所对应的点落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则e^2x+y的最大值是（ ）
A．e³
B．e²
C．1
D．e^-4

5. 难度：中等

双曲线-=1的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

6. 难度：中等

阅读下面程序框图，则输出结果s的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在下列命题中，
①“a=”是“sina=1”的充要条件；
②（+）⁴的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=；
④已知命题p：∀x∈（0，+∞），3^x＞2^x； 命题q：∃x∈（-∞，0）3x＞2x，则命题 p∧（￢q）为真命题；  
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②④
B．②③
C．②③④
D．①③④

8. 难度：中等

设Q为有理数集，a，b∈Q，定义映射f_a，b：Q→Q，x→ax+b，则f_a，b•f_c．d定义为Q到Q的映射：（x）=f_a，b（f_c．d（x）），则=（ ）
A．f_ac，bd
B．f_a+c，b+d
C．f_ac，ad+b
D．f_ab，cd

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=x²的焦点坐标为    ．

10. 难度：中等

函数y=x²-2x-3在点M（2，-3）处的切线方程为    ．

11. 难度：中等

若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=    ．

12. 难度：中等

我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：a²=b²+c²-2bccosA，请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字母）：    ．

13. 难度：中等

不等式|2x-1|＞2x-1解集为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点（2，）为圆心，半径为2的圆的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线，D为切点，若AE=2，DE=4，CE=3，DM=4，则OB=    ，MB=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，S₅=35．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=p（p≠0），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

17. 难度：中等

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5 日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类型	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（）=，x，求cos2x的值．
（Ⅲ）在锐角△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，若b=2，C=，且满足f（-）=，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-B的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：M：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．