2008-2009学年山东省青岛市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A{x|x＜-1或x＞1}，B={log₂x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

2. 难度：中等

在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

3. 难度：中等

定义A-B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N-M=（ ）
A．M
B．N
C．{1，4，5}
D．{6}

4. 难度：中等

，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4+2，=3+4，则△OAB的面积等于（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5

5. 难度：中等

首项为-24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是（ ）
A．
B．d＜3
C．
D．

6. 难度：中等

已知点E在△ABC所在的平面且满足，则点E一定落在（ ）
A．BC边的垂直平分线上
B．BC边的中线所在的直线上
C．BC边的高线所在的直线上
D．BC边所在的直线上

7. 难度：中等

设函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3）
B．（1，+∞）
C．（-3，1）
D．（-∞，-3）∪（1，+∞）

8. 难度：中等

曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，则=（ ）
A．0
B．
C．-1
D．1

10. 难度：中等

阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如[-2]=-2，[-1.5]=-2，[2.5]=2．求的值为（ ）
A．0
B．-2
C．-1
D．1

11. 难度：中等

已知函数f（x）=3sin（-2x+）的图象，给出以下四个论断：
①该函数图象关于直线x=-对称；     
②该函数图象的一个对称中心是（，0）；
③函数f（x）在区间[]上是减函数；  
④f（x）可由y=-3sin2x向左平移个单位得到．
以上四个论断中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

设函数f（x）=，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）≥0}，M是P的真子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（0，1）
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和S_n=2008ⁿ+t（t为常数），则a₁的值为    ．

14. 难度：中等

已知cos（α-）=，则sin（-α）的值为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（105.5）=    ．

16. 难度：中等

对于n个向量，若存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…k_n，使得：成立，则称向量是线性相关的．按此规定，能使向量是线性相关的实数为k₁，k₂，k₃，则k₁+4k₃=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（cosmx，0），向量=（sinmx，0），函数f（x）=的最小正周期为2，其中m＞0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求当x∈[-2，0]时f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=，求数列{c_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且5tanB=．
（I） 求sin²+cos2B的值；
（Ⅱ）若tanC=，c=2，求b的值．

20. 难度：中等

为抗议日本“购买”钓鱼岛，某汽车4S店计划销售一种印有“钓鱼岛是中国的”车贴，已知车贴的进价为每盒10元，并且车贴的进货量由销售量决定．预计这种车贴以每盒20元的价格销售时该店可销售2000盒，经过市场调研发现：每盒车贴的价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒车贴的销售价格为x元（10＜x≤26），x∈N^*．
（1）求销售这种车贴所获得的利润y（元）与每盒车贴的销售价格x的函数关系式；
（2）当每盒车贴的销售价格x为多少元时，该店销售这种车贴所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．