2011-2012学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x+1＞0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-x+1＜0
B．∀x∈R，x²-x+1＞0
C．∃x∈R，x²-x+1≤0
D．∀x∈R，x²-x+1≤0

2. 难度：中等

双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若a∈R，则“a=1”是“a²-3a+2=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知=（1，-3，2）平行的一个向量的坐标为（ ）
A．（1，3，2）
B．（-1，-3，2）
C．（-1，3，-2）
D．（1，-3，-2）

5. 难度：中等

在△ABC中，AB=2BC=2，，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．1
D．

6. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，若为等差数列，则a₁₁=（ ）
A．0
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，M是CC₁的中点，则异面直线AB₁与A₁M所成的角是（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°

8. 难度：中等

若a＞b＞0，e₁，e₂分别是+=1和-=1的离心率，则lge₁+lge₂的值为（ ）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定

9. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则数列{a_n}的公比为（ ）
A．
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

设F₁、F₂分别是双曲线x²-=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（ ）
A．
B．2
C．
D．2

11. 难度：中等

已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4^x+m•2^x+1=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．-2≤m≤2
B．m≥2
C．m≤-2
D．m≤-2或m≥2

12. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKF的面积是（ ）
A．4
B．3
C．4
D．8

二、填空题

13. 难度：中等

已知点A（3，0），B（0，4），点P（x，y） 是线段上任意一点，则xy的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1²=a_n•a_n+2，且a₂=4，a₃=8，则=    ．

15. 难度：中等

下列命题：
①||+||=|+|是，共线的充要条件；
②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足=2+3-4，则P，A，B，C四点共面；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确的命题的序号是    ．

16. 难度：中等

椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，若直线y=kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足x²-6x+8＞0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知各项均正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（a_n²+a_n）
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设数列b_n=，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

19. 难度：中等

已知双曲线C与双曲线-y²=1有相同的渐近线，且经过点（-3，2）
（1）求双曲线C的方程
（2）已知直线l过点（0，）且倾斜角是45°，求直线l被双曲线C所截得的弦AB的长．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积为，且，求a．

21. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=，D、E分别为BB₁、AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

22. 难度：中等

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足||，||，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．