2012-2013学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．-i
B．-1
C．i
D．1

3. 难度：中等

函数y=x²+1的极值点为（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

若=（1，2，-3），=（2，a-1，a²-），则“a=1”是“⊥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

曲线f（x）=x²+3x在点P（1，4）处的切线方程为（ ）
A．5x+y-1=0
B．5x-y-1=0
C．5x-y+1=0
D．5x+y+1=0

6. 难度：中等

从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排，则不同的排法共有（ ）
A．2400种
B．24400种
C．1400种
D．14400种

7. 难度：中等

若函数在区间（2，3）上是减函数，则k的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．[0，1]
C．（-∞，0]
D．[2，+∞）

8. 难度：中等

如图，用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去都是相同的一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，当长方体容器的容积为最大时，其高为（ ）

A．10
B．30
C．36
D．10或36

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

函数y=的导数是    ．

11. 难度：中等

从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概是    ．

12. 难度：中等

随机变量X的分布列为：

X		1	2
P

则EX=    ，DX=    ．

13. 难度：中等

若二项式的展开式中所有二项式系数的和等于256，则展开式中含x³的项为    ．

14. 难度：中等

在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，中第①个图案只一个花盆；第②个，第③个，…的图案分别按图所示的方式固定摆放．从第①个图案的第
一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以a_n表示第n个图案的花盆总数，则a₃=    ；a_n=    （答案用n表示）．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系xoy中，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E₁在A₁B₁上，F₁在C₁D₁上，且B₁E₁=D₁F₁=．
（Ⅰ）求向量，的坐标；
（Ⅱ）求BE₁与DF₁所成的角的余弦值．

16. 难度：中等

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有投中的概率的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X的数学期望．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f（x）有极小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函数f（x）的极小值．

18. 难度：中等

如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁、L₂两条路线，L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是线段AB．BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有f（x₁）＞g（x₂）；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．