2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{3}
B．{2}
C．{1，2，4}
D．{1，4}

2. 难度：中等

已知复数z=，则复数z的模为（ ）
A．2
B．
C．1
D．0

3. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=-2cosθ的圆心的极坐标是（ ）
A．（1，）
B．（1，-）
C．（1，0）
D．（1，π）

4. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．4
D．2

5. 难度：中等

执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设抛物线y²=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

7. 难度：中等

以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；
②若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；
③命题p：存在x∈R，使得x²+x+1＜0，则-p：任意x∈R，都有x²+x+1≥0
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

对于使-x²+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做-x²+2x的上确界，若a，b∈R⁺，且a+b=1，则的上确界为（ ）
A．
B．
C．
D．-4

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=    ．

10. 难度：中等

如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为    ．

11. 难度：中等

已知向量，，，若与垂直，则k=    ．

12. 难度：中等

已知等差数列的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=    ．

13. 难度：中等

若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有    种．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax-x+b（a≥0，且a≠1），当＜a＜且3＜b＜4时，函数f（x）的零点x∈（n，n+1），n∈N⁺，则n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²xsin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：
（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；
（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y的分布列和数学期望．
（注：方差s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n）²]其中为x₁，x₂，…x_n的平均数）

17. 难度：中等

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点． 
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）若DE=3，求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l倾斜角的取值范围．

20. 难度：中等

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈R^*都成立，我们称数列{c_n}是“K类数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}，{b_n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{c_n}是“K类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“K类数列”；
（Ⅲ）若数列a_n满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2012项的和．并判断{a_n}是否为“K类数列”，说明理由．