2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若复数z满足z（2-i）=7-i，则z等于（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．3-i
D．3+i

2. 难度：中等

甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（ ）
A．x-4y=0
B．x-4y-2=0
C．x-2y-1=0
D．x+4y-4=0

4. 难度：中等

从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有（ ）
A．9个
B．10个
C．11个
D．12个

5. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（ ）
A．a≠0，c=0
B．b=0
C．a=0，c≠0
D．a²+c²=0

6. 难度：中等

已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x轴所围成的封闭图形的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，若同时满足条件：
①∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8]
B．[8，+∞）
C．（-∞，0）∪[8，+∞）
D．（-∞，0）∪（4，8]

二、填空题

9. 难度：中等

的二项展开式中的常数项为    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

如果函数f（x）=cosx，那么=    ．

11. 难度：中等

已知某随机变量X的分布列如下（p，q∈R）：

X	1	-1
P	p	q

且X的数学期望，那么X的方差D（X）=    ．

12. 难度：中等

已知函数的图象在x=0和处的切线互相平行，则实数a=    ．

13. 难度：中等

有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有    种不同的组队方法．（用数字作答）

14. 难度：中等

设函数f_n（x）=xⁿ+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₃（x）在区间（，1）内不存在零点；
②函数f₄（x）在区间（，1）内存在唯一零点；
③设x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（，1）内的零点，则x_n＜x_n+1．
其中所有正确结论的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．

16. 难度：中等

设函数，且，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃，a₄的值；
（II）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=e^2x-1-2x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．

18. 难度：中等

箱中装有4个白球和m（m∈N*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球所得分数之和．
（I）若，求m的值；
（II）当m=3时，求X的分布列和数字期望E（X）．

19. 难度：中等

请先阅读：
设平面向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），且与的夹角为θ，
因为•=||||cosθ，
所以•≤||||．
即，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有成立；
（II）试求函数的最大值．

20. 难度：中等

已知函数，．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；
（III）设x₁，x₂＞0，a₁，a₂∈[0，1]，且a₁+a₂=1，求证：．