2011-2012学年广东省揭阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

△ABC中，A=45°，B=60°，a=10，则b等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃a₉=2，a₂=2，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”
B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1
C．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件
D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（￢p）∨（￢q）为真命题．

4. 难度：中等

在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x²+9y²=36有公共焦点，则双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．4
D．3

7. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

椭圆+=1上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，F是右焦点，|P₁F|，|P₂F|，…，|P_nF|组成等差数列，且公差d＞，则n的最大值是（ ）
A．99
B．100
C．199
D．200

二、填空题

9. 难度：中等

△ABC 中，“A=”是“sinA=”的    条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．

10. 难度：中等

已知t＞0，则函数的最小值为     ．

11. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，当时，△F₁PF₂的面积为    ．

12. 难度：中等

已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且=，则=    ．

13. 难度：中等

已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px （p＞0）的准线相切，则p=    ．

14. 难度：中等

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则渔船甲的速度为    海里/小时，sinα=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B．
（1）求A．
（2）记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b=5，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大小．

18. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆的左右两个焦点分别为F₁、F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线BF₂交椭圆C于另一点N，求△F₁BN的面积．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知双曲线c：的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若有两个半径相同的圆c₁，c₂，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线c的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆c₁，c₂都相切，求两圆c₁，c₂圆心连线斜率的范围．