2011-2012学年福建省泉州市安溪一中、养正中学联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．“x＜0”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件
B．若命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则¬p为：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若x²-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x²-3x+2≠0”

2. 难度：中等

设复数z满足iz=2-i，则z=（ ）
A．-1-2i
B．1-2i
C．1+2i
D．-1+2i

3. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2

4. 难度：中等

某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）	4	2	3	5
销售额y（万元）	49	26	39	54

  根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元

5. 难度：中等

已知关于x的一次函数 y=mx+n，设m∈{-2，-1，1，2，3}，n∈{-2，3}，则函数y=mx+n是增函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设n=2k+1（k∈N^*）正确，再推n=2k+3正确
B．假设n=2k-1（k∈N^*）正确，再推n=2k+1正确
C．假设n=k（k∈N^*）正确，再推n=k+1正确
D．假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确

7. 难度：中等

把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安排方法的种数是（ ）
A．30种
B．60种
C．120种
D．240种

8. 难度：中等

某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）
A．15
B．11
C．14
D．23

9. 难度：中等

若（ax²-）⁹的展开式中常数项为84，其中a为常数，则其展开式中各项系数之和为（ ）
A．1
B．512
C．-512
D．0

10. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若ξ～B（4，0.25），则Eξ=1
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²≤1成立的概率是；
④函数上恒为正，则实数a的取值范围是．
其中真命题个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

点（-2，2）的极坐标为    ．

12. 难度：中等

（理）    ．

13. 难度：中等

甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室只有一部电话机，给该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是，在一段时间内该电话机共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是    （用分数作答）

14. 难度：中等

某班50名学生的某项综合能力测试成绩统计如下表：

分数	12	a	10	9	8
人数	8	12	10	12	8

已知该班的平均成绩，则该班成绩的方差S²=    （精确到0.001）

15. 难度：中等

为了判断高中学生选读文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科	合计
男	13	10	23
女	7	20	27
合计	20	30	50

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025，根据表中数据，得到，则在犯错误的概率不超过    的前提下可以认为选读文科与性别是有关系的．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设圆C：（x-1）²+（y-2）²=1在矩阵对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π，求k的值．

17. 难度：中等

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+4-a=0．若直线l与圆C相交于A、B且|AB|=1，求实数a的值．

18. 难度：中等

从甲地到乙地一天共有A、B两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0.7，B班车正点到达乙地的概率为0.75．
（1）有三位游客分别乘坐三天的A班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）．
（2）有两位游客分别乘坐A、B班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）．

19. 难度：中等

3个同学分别从a，b，c，d四门校本课程中任选其中一门，每个同学选哪一门互不影响；
（I）求3个同学选择3门不同课程的概率；
（II）求恰有2门课程没有被选择的概率；
（Ⅲ）求选择课程a的同学个数的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：BC∥面AMP；
（2）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（3）求锐二面角M-AB-C的大小的余弦值．

21. 难度：中等

定义y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f（x）=F（x，2）-3x，过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），设曲线C与l及y轴围成图形的面积为S，求S的值．
（Ⅱ）令函数g（x）=F（x，2）+alnx，讨论函数g（x）是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值．
（Ⅲ）证明：当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．