2011-2012学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于命题“若a=b则a²=b²”，下列判断正确的是（ ）
A．所给命题为假
B．它的逆否命题为真
C．它的逆命题为真
D．它的否命题为真

2. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．4x±y=0
D．x±4y=0

3. 难度：中等

已知P：2+2=5，Q：3＞2，则下列判断错误的是（ ）
A．“P或Q”为真，“非Q”为假
B．“P且Q”为假，“非P”为真
C．“P且Q”为假，“非P”为假
D．“P且Q”为假，“P或Q”为真

4. 难度：中等

有4个命题：
（1）没有男生爱踢足球；
（2）所有男生都不爱踢足球；
（3）至少有一个男生不爱踢足球；  
（4）所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）

5. 难度：中等

已知曲线y=2x²+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（ ）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（-1，3）
D．（-1，-4）

6. 难度：中等

若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．-2＜m＜-1
B．m＞-1
C．m＜-2
D．m＜-2或m＞-1

7. 难度：中等

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=-4
B．y²=8
C．y²=4
D．y²=-8

8. 难度：中等

已知p：|2x-3|＜1，q：x（x-3）＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（ ）
A．e²
B．e
C．
D．ln2

10. 难度：中等

已知圆（x-2）²+y²=1经过椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

将命题“”改写成“若p则q”的形式：    ．

12. 难度：中等

已知地球运行的轨道是椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，这个椭圆的长半轴长约为1.5×10⁸km，半焦距约为3×10⁶km，则地球到太阳的最大距离是    km．

13. 难度：中等

曲线y=x³-2x²-4x+2在点（1，-3）处的切线方程是    

14. 难度：中等

过抛物线y²=2x内一点A（1，1）作弦BC，若A为BC的中点，则直线BC的方程为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．

16. 难度：中等

直线y=x-4与抛物线y²=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积．

17. 难度：中等

命题p：“方程表示焦点在y轴上的椭圆”，
命题q：“∀x∈R，mx²+2x+m＞0恒成立”，
若命题p与命题q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

四、选择题

18. 难度：中等

若f′（ x）=2，则当k无限趋近于0时=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

19. 难度：中等

与圆x²+y²=1及圆x²+y²-8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上
B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上
D．一个圆上

五、填空题

20. 难度：中等

已知两点A（0，1），B（0，b），若抛物线x²=4y上存在点C使△ABC为等边三角形，则实数b=    ．

21. 难度：中等

设A、B为两个集合．下列四个命题：
①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B；
②A⊈B⇔A∩B=∅；
③A⊈B⇔A⊉B；
④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B．
其中真命题的序号是    ．（把符合要求的命题序号都填上）

六、解答题

22. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y-2），且|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．