2012-2013学年山东省济宁市金乡一中高二（下）2月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设x∈R，则“x=1”是“x³=x”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

命题：“∀x∈R，都有x²-x+1＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有x²-x+1≤0
B．∃x∈R，都有x²-x+1＞0
C．∃x∈R，都有x²-x+1≤0
D．以上选项均不正确

3. 难度：中等

抛物线y=x²的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b切于点（1，3），则b的值为（ ）
A．3
B．-3
C．5
D．-5

5. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为10，离心率，则椭圆的方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或

6. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知P是椭圆上一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．4（2+）
D．4

8. 难度：中等

若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y²=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．
C．
D．（2，2）

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

11. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

12. 难度：中等

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4]，则a+b=    ．

14. 难度：中等

已知椭圆，过左焦点F₁倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长    ．

15. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和，则此数列的通项公式为    ；数列{na_n}中数值最小的项是第    项．

16. 难度：中等

设x、y满足条件，则z=（x+1）²+y²的最小值    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：“对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立”，命题q：“方程（a-1）x²+（3-a）y²-（3-a）（a-1）=0表示焦点在x轴上的椭圆”．
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

根据所给条件求下列曲线的方程：
（1）顶点在原点，对称轴为x轴，并经过点P（-6，-3）的抛物线方程．
（2）已知：点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．求动点P的轨迹方程．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³-6x+5（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈[2，+∞）时，不等式f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

22. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△CDF₂的面积．